Анализ экономических задач симплексным методом

требуется для производства единицы продукции j-го вида. Матрицу коэффициентов называют технологической и обозначают буквой А. Имеем . Обозначим через план производства, показывающий, какие виды товаров нужно производить и в каких количествах, чтобы обеспечить предприятию максимум объема реализации при имеющихся ресурсах. Так как - цена реализации единицы j'-й продукции, цена реализованных единиц будет равна , а общий объем реализации Это выражение целевая функция, которую нужно максимизировать. Так как - расход i-го ресурса на производство единиц j-й продукции, то, просуммировав расход i-го ресурса на выпуск всех n видов продукции, получим общий расход этого ресурса, который не должен превосходить единиц:

Чтобы искомый план был реализован, наряду с ограничениями на ресурсы нужно наложить условие неотрицательности на объёмы выпуска продукции: . Таким образом, модель задачи о наилучшем использовании ресурсов примет вид: (1) при ограничениях: (2) (3) Так как переменные входят в функцию и систему ограничений только в первой степени, а показатели являются постоянными в планируемый период, то (1)-(3) задача линейного программирования.

5.2 Задача о смесях. В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т. д. Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигает на первый план следующую задачу: получить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы. 5.3 Задача о раскрое материалов. Сущность задачи об оптимальном раскрое состоит в разработке таких технологически допустимых планов раскроя, при которых получается необходимый комплект заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму. Рассмотрим простейшую модель раскроя по одному измерению. Более сложные постановки ведут к задачам целочисленного программирования. 5.4 Транспортная задача. Рассмотрим простейший вариант модели транспортной задачи, когда речь идет о рациональной перевозке некоторого однородного продукта от производителей к потребителям; при этом имеется баланс между суммарным спросом потребителей и возможностями поставщиков по их удовлетворению. Причем потребителям безразлично, из каких пунктов производства будет поступать продукция, лишь бы их заявки были полностью удовлетворены. Так как от схемы прикрепления потребителей к поставщикам существенно зависит объем транспортной работы, возникает задача о наиболее рациональном прикреплении, правильном направлении перевозок грузов, при котором потребности полностью удовлетворяются, вся продукция от поставщиков вывозится, а затраты на транспортировку минимальны. 5.5 Задача о размещении заказа. Речь идет о задаче распределения заказа (загрузки взаимозаменяемых групп оборудования) между предприятиями (цехами, станками, исполнителями) с различными производственными и технологическими характеристиками, но взаимозаменяемыми в смысле выполнения заказа. Требуется составить план размещения заказа (загрузки оборудования), при котором с имеющимися производственными возможностями заказ был бы выполнен, а показатель эффективности достигал экстремального значения.

§7. Анализ задачи об оптимальном использовании сырья.

Исходя из специализации и своих технологических возможностей предприятие может выступать четыре вида продукции. Сбыт любого количества обеспечен. Для изготовления этой продукции используются трудовые ресурсы, полуфабрикаты и станочное оборудование. Общий объём ресурсов, расход каждого ресурса за единицу продукции, приведены в таблице 1. Требуется определить план выпуска, доставляющий предприятию максимум прибыли. Выполнить после оптимизационный анализ решения и параметров модели.

РесурсыВыпускаемая продукцияОбъём РесурсовТрудовые ресурсы, чел-ч42284800Полуфабрикаты, кг210602400Станочное оборудование, станко-ч10211500Цена единицы продукции, р.657060120

Решение. Пусть - объёмы продукции планируемый к выпуску; - сумма ожидаемой выручки. Математическая модель пря мой задачи:

Математическая модель двойственной задачи:

По условиям примера найти: 1. Ассортимент выпускаемой продукции, обеспечивающий предприятию максимум реализации (максимум выручки) 2. Оценки ресурсов, используемых при производстве продукции.

Симплексным методом решаем прямую задачу, модель которой составлена выше в таблице1. После второй итерации все оценки оказались отрицательными, значит, найденный опорный план является оптимальным: , Основные переменные показывают, что продукциюи выпускать нецелесообразно, а продукции следует произвести 400 ед., - 500 ед. Дополнительные переменные и показывают, что ресурсы используются полностью , а вот равенство свидетельствует о том, что 200 единиц продукции осталось неиспользованным.

Номера ит.БПСб657060120000004800422810002400210600100150010210010-65-70-60-12000011206001/21/41/411/80002400206001009001/2-1/47/40-1/80172000-5-40-300150021205005/12-1/6011/8-1/240604001/35/31001/600200-1/12-19,600-1/8-7/24184000510001550

Выпишем из таблицы2. Компоненты оптимального плана двойственной задачи двойственные оценки. В канонической форме прямой задачи переменные - являются свободными, а дополнительные переменные - базисными. В канонической форме двойственной задачи свободными будут переменные - а базисными Соответствие между переменными примет вид

Учитывая это соответствие, выпишем из индексной строки последней итерации компоненты искомого плана - двойственные оценки. min f = max Z =84000. Запишем это неравенство в развернутой форме: 48000*15 + 2400*5 + 1500*0 = 65*0 + 70*0 + 60*400 + 120*500 Учитывая, что компонеты представляют собой оценки ресурсов заключаем: При оптимальном плане оценка ресурсов, затраченных на выпуск продукции, совпадает с оценкой произведенной продукции. Теперь установим степень дефицитности используемых ресурсов и обоснуем рентабельность оптимального плана. Мы нашли оптимальный план выпуска продукции. При этом плане третье ограничение прямой задачи выполняется как строгое неравенство: 0+2-400+500= 1300< 1500. Это означает, что расход ресурса меньше его запаса, т. е. ресурс избыточный. Именно поэтому в оптимальном плане двойственной задачи оценка этого ресурса равна нулю. А вот оценки и ресурсов и выражаются положительными числами 15 и 5, что свидетельствует о дефицитности этих ресурсов: они при оптимальном плане используются полностью. В самом деле, ограничения по этим ресурсам выполняются как строгие равенства: 4.0+2.0+2.400+8.500=4800, 2-0+10.0+6.400=2400. Поскольку 15>5,