Количественные методы в управлении

исходных операций, со средним ожидаемым доходом 9,14 и риском 3,96, которая превосходит все имеющиеся операции по риску.

Определить лучшую и худшую операции можно также с помощью взвешивающей формулы f(Q)= 2*M[Q] r. Имеем: f(Q1)=3,21; f(Q2)=7,86; f(Q3)=7,28; f(Q4)=26,38. Следовательно, 4-я операция является самой лучшей, а 1-я самой худшей.

2.3 Статистический анализ денежных потоков.

Исходные данные для анализа: ежедневные (суммарные) денежные вклады населения в отделение сбербанка в течение 4-х недель (или аналогичный какой-нибудь денежный поток).

Исходные данные: 1-я неделя2-я неделя 3-я неделя4-я неделя123456123456123456123456651315141399999912121212121231171954

Денежный поток: 651315141399999912121212121231171954

Ранжированный ряд: 134556999999121212121212131314151719

Дискретный вариационный ряд: значения134569121314151719частоты111216621111частости1/241/241/242/241/246/246/242/241/241/241/241/24 Многоугольник частот:

Интервальный вариационный ряд:

Границы интервалов02468101214161820Середины интервалов135791113151719Частоты1131608211Частости1/241/243/241/246/241/248/242/241/241/24 Многоугольник частостей:

Выборочная функция распределения:

Статистические характеристики: По исходному рядуПо дискретному рядуПо интервальному рядуВыборочная средняя10,410,410,42Выборочная дисперсия18,7918,7919,88Выборочное СКО4,334,334,46Несмещенная оценка ген. диспер.19,6119,6120,75 Необходимые формулы и расчеты:

2.4 Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

3. Модели сотрудничества и конкуренции.

3.1 Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара.

Рассмотрим две фирмы, i=1,2, выпускающие один и тот же товар. Пусть затраты i-й фирмы при выпуске x[i] равны a[i]*x[i] (таким образом, a[i] есть себестоимость выпуска одной единицы товара i-й фирмой). Произведенный обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Цена на товар линейно падает в зависимости от поступающего на рынок общего его количества: p(x)=c-bx, c,b>0, где x=x[1]+x[2]. Следовательно, прибыль i-ой фирмы равна W[i](x[1],x[2])=x[i]*(c-bx)-a[i]*x[i]=bx[i]*(d[i]-(x[1]+x[2])),где d[i]=(с-a[i])/b. Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать свою прибыль. Дано: a[1]=5, a[2]=6, b=9, c=77. Тогда: p(x)=77-9*x d[1]=(с-a[1])/b=(77-5)/9=8 d[2]=(с-a[2])/b=(77-6)/9=7,89 W[1](x[1],x[2])= bx[1]*(d[1]-(x[1]+x[2]))= 9*x[1]*(8-(x[1]+x[2])) W[2](x[1],x[2])= bx[2]*(d[2]-(x[1]+x[2]))= 9*x[2]*(7,89-(x[1]+x[2]))

Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е. объем ее выпуска x[2]. Токда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации прибыли: W[1]/ x[1]= b*(d[1]-(x[1]+x[2])) b* x[1]=0, т.е. x*[1]= (d[1]-x[2])/2=(8-x[2])/2 Аналогично для второй фирмы: x*[2]= (d[2]-x[1])/2=(7,89-x[1])/2 x*[2], x*[1] оптимальные выпуски 1-ой и 2-ой фирм при условии, что они знают выпуск конкурента. Теперь предположим, что производственные циклы фирм совпадают, т.е. a[1]=a[2]=5. Пуcть фирмы выбирают свои оптимальные выпуски, зная объем производства своего конкурента за прошлый период. Предположим, что d[1]/2фирм W[i]=b*d2/9, цена p=c-2*b*d/3. И еще одно условие x<=c/b<=d . d[1]/2
NВыпускЦенаПрибыли1-я фирма2-я фирма1-я фирма2-я фирма07,80,113,950,140,55140,423,5622,992,0331,8980,3354,4532,752,5129,7264,9362,09Как видно уже при 3-ей операции выпуски и прибыли 1-ой и 2-ой фирмы и цена значительно приблизились к точке Курно. Посмотрим это графически.

Зеленым цветом обозначены точки последовательных итераций, а красным точка Курно.

3.2 Кооперативная биматричная игра как модель сотрудничества и конкуренции двух участников.

Математической моделью конфликтов с двумя участниками являются биматричные игры. Такая игра 2х2 задается биматрицей (aij,bij) . В кооперативном варианте такой игры игроки могут согласованно выбирать элемент биматрицы. Если они выбрали элемент (a,b), то Первый игрок получает a , а Второй получает b . Цели игроков одинаковы - выиграть как можно больше в расчете на партию в среднем. Пусть (x,y), (a,b) - две точки из CE. Говорят, что (x,y) доминирует (a,b) если x>=a, y>=b и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые точки называются оптимальными по Парето, а их множество - множеством оптимальности по Парето. Еще более узкое множество называется переговорным. Оно определяется так: пусть Vk - максимальный выигрыш, который k-й игрок может обеспечить себе при любой стратегии другого игрока, тогда переговорное множество определяется как множество тех точек множества Парето, у которых k-я координата не меньше Vk. Для нахождения Vk на до решить две задачи ЛП: V1-->max, a11*x+a21*(1-x)>=V1,a11*x+a12*(1-x)>=V1, 0<=x<=1; V2-->max, a11*y+a12*(1-y)>=V2,a21*y+a22*(1-y)>=V2, 0<=y<=1. Дано: биматрица 22668791Нанесем на плоскость элементы биматрицы и начертим выпуклую оболочку.

Где красным и зеленым цветом обозначено множество оптимальности по Парето, а зеленым та его часть, которая является переговорным множеством. V1=8, V2=4. Цена игры первого игрока V1 находится легко, так как в матрице аij есть седловая точка а[2,1]=8. Основная теорема матричных игр утверждает, что для любой матричной игры max{min{M[P,Q]:Q}:P}=min{max{M[P,Q]:P}:Q}, т.е. во множестве смешанных стратегий есть седловая точка, дающая оптимальное решение игры. Поэтому V1= а[2,1]=8, а оптимальная стратегия 1-го игрока Р*=(0 1), так как ему выгодно выбирать все время 2-ю строку. Для того, чтобы найти цену игры и оптимальную стратегию 2-го игрока необходимо решить задачу ЛП. Если все разделить на V2 и сделать замену переменных, то получим: V2-->max y/V2=x1 x1 + x2 min 2*y+6*(1-y)>=V2, (1-y)/V2=x2 2*x1 +6*x2>=1 7*y+1*(1-y)>=V2, 7*x1 +1*x2>=1 0<=y<=1. x1, x2 ?0 Решая ее находим V2=4. Итак, цена игры 2-го игрока V2=4

3.3 Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества.

4. Социально-экономическая структура общества.

4.1 Модель распределения богатства