Количественные методы в управлении

Содержание.

Содержание. 2 1. Оптимальное производственное планирование. 3 1.1 Линейная задача производственного планирования. 3 1.2 Двойственная задача линейного программирования. 4 1.3 Задача о комплектном плане. 5 1.4 Оптимальное распределение инвестиций. 6 2. Анализ финансовых операций и инструментов. 9 2.1 Принятие решений в условиях неопределенности. 9 2.2 Анализ доходности и рискованности финансовых операций. 11 2.3 Статистический анализ денежных потоков. 13 2.4 Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг. 17 3. Модели сотрудничества и конкуренции. 19 3.1 Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара. 19 3.2 Кооперативная биматричная игра как модель сотрудничества и конкуренции двух участников. 20 3.3 Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества. 22 4. Социально-экономическая структура общества. 24 4.1 Модель распределения богатства в обществе. 24 4.2 Распределение общества по получаемому доходу. 26

1. Оптимальное производственное планирование.

1.1 Линейная задача производственного планирования.

48 30 29 10 - удельные прибыли

нормы расхода - 3 2 4 3 198 2 3 1 2 96 - запасы ресурсов 6 5 1 0 228

Обозначим x1,x2,x3,x4 - число единиц 1-й,2-й,3-й,4-й продукции, которые планируем произвести. При этом можно использовать только имеющиеся запасы ресурсов. Целью является получение максимальной прибыли. Получаем следующую математическую модель оптимального планирования:

P(x1,x2,x3,x4) =48*x1+30*x2+29*x3+10*x4 --> max 3*x1+ 2*x2+ 4*x3+ 3*x4<=198 2*x1+ 3*x2+ 1*x3+ 2*x4<= 96 6*x1+ 5*x2+ 1*x3+ 0*x4<=228 x1,x2,x3,x4>=0 Для решения полученной задачи в каждое неравенство добавим неотрицательную переменную. После этого неравенства превратятся в равенства, в силу этого добавляемые переменные называются балансовыми. Получается задача ЛП на максимум, все переменные неотрицательны, все ограничения есть равенства, и есть базисный набор переменных: x5 - в 1-м равенстве, x6 - во 2-м и x7 - в 3-м.

P(x1,x2,x3,x4)=48*x1+30*x2+29*x3+10*x4+ 0*x5+ 0*x6+ 0*x7 -->max 3*x1+ 2*x2+ 4*x3+ 3*x4+ x5 =198 2*x1+ 3*x2+ 1*x3+ 2*x4 + x6 = 96 6*x1+ 5*x2+ 1*x3+ 0*x4 + x7=228 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7>=0

48302910000Hi /qisСБНХ1Х2Х3Х4Х5Х6Х70Х51983243100660Х6962312010480Х7228651000138Р0-48-30-29-100000Х5840-0.53.5310-0.5240Х62001.330.67201-0.333048Х13810.830.170000.17228Р1824010-21-1000829Х3240-0.1410.860.290-0.140Х62001.4301.43-0.191-0.2448Х13410.860-0.14-0.0500.19Р23280708605 Так как все оценочные коэффициенты неотрицательны, то получено оптимальное решение. Оптимальное решение: x1=34, x2=0, x3=24, x4=0, x5=0, x6=20, x7=0. Максимум целевой функции Pmax= 2328. Ресурсы 1 и 3 являются «узким местом» производства, так как при выполнении оптимального плана они используются полностью (без остатка).

1.2 Двойственная задача линейного программирования.

исходная задача двойственная задача CX-->max YB-->min AX<=B, X>=0 YA>=C, Y>=0

P= 48*x1+30*x2+29*x3+10*x4 -->max S= 198*y1+96*y2+228*y3 -->min 3*x1+2*x2+4*x3+3*x4<=198 3*y1+2*y2+6*y3>=48 2*x1+3*x2+1*x3+2*x4<=96 2*y1+3*y2+5*y3>=30 6*x1+5*x2+1*x3+0*x4<=228 4*y1+1*y2+1*y3>=29 x1,x2,x3,x4>=0 3*y1+2*y2+0*y3>=10 y1,y2,y3>=0

Первый способ: По первой теореме двойственности, оптимальные решения двойственной задачи (y1,y2,y3) равны оценочным коэффициентам при балансовых переменных последней симплекс-таблицы: у1=6, у2=0, у3=5. А экстремум двойственной задачи Smin=2328. Второй способ: По второй теореме двойственности, если какая-то компонента оптимального решения исходной задачи отлична от нуля, то соответствующее ей ограничение двойственной задачи на ее оптимальном решении выполняется как строгое равенство. А если какое-то из ограничений исходной задачи на ее оптимальном решении выполняется как строгое неравенство, то соответствующая компонента оптимального решения двойственной задачи обязательно равна нулю. Так как балансовая переменная второго ограничения (х6) отлична от нуля, следовательно оно выполняется на оптимальном решении как строгое неравенство, а поэтому у2=0. Так как х1 и х3 отличны от нуля, то получаем следующую систему уравнений: 3*у1 +6*у3 = 48 4*у1 + у3 = 29 Решая их, получаем оптимальные решения двойственной задачи: у1=6, у2=0, у3=5.

1.3 Задача о комплектном плане.

Имеем соотношения: x3:x1= 1; x4:x2=3 или х3=х1; х4=3*х2. Подставив эти выражения, получим задачу ЛП с двумя переменными. 77*х1 +60*х2 max 7*х1 +11*х2 ? 198 3*х1 + 9*х2 ? 96 7*х1 + 5*х2 ? 228 Наносим эти ограничения на плоскость х1х2 и ищем на допустимом множестве максимум функции. Для этого строим градиент grad(77,60). Искомая точка с координатами х1=0; х228.29 и максимум прибыли max2178.

1.4 Оптимальное распределение инвестиций.

Имеем: 4 фирмы, инвестиции в размере 700 тыс. рублей. По этим 4 фирмам их нужно распределить. Размер инвестиций кратен 100 тыс. рублей. Эффект от направления i-й фирме инвестиций в размере m (сотен тыс. рублей) выражается функцией fi(m). Приходим к задаче:

f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)+f4(x4)-->max x1+x2+x3+x4<=7 x1,x2,x3,x4>=0

где xi - неизвестный размер инвестиций i-й фирме. Эта задача решается методом динамического программирования: последовательно ищется оптимальное распределение для k=2,3 и 4 фирм. Пусть первым двум фирмам выделено m инвестиций, обозначим z2(m) величину инвестиций 2-й фирме, при которой сумма f2(z2(j))+f1(m-z2(j)), 0<=j<=m максимальна, саму эту максимальную величину обозначим F2(m). Далее действуем также: находим функции z3 и F3 и т.д. На k-ом шаге для нахождения Fk(m) используем основное рекуррентное соотношение:

Fk(m)=max{fk(j)+F{k-1}(m-j): 0<=j<=7}

Исходные данные: Таблица №1. x0100200300400500600700f1(x1)02845657890102113f2(x2)025415565758085f3(x3)015254050627382f4(x4)033334248535658 Заполняем следующую таблицу. Значения f2(x2) складываем со значениями F1(m-x2) = f2(m-x2) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем и указываем соответствующее значение z2. Таблица №2. m-x20100200300400500600700x2f2(x2)/ F1(m-x2)028456578901021130002845657890102113100252553709010311512720041416986106119131300555583100120133400656593110130500757510312060080801087008585 Голубым цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 2-м предприятиям. Таблица №3. m0100200300400500600700F2(m)028537090106120133z2(m)00100100100200300300 Продолжая процесс, табулируем функции F3(m) и z3(m). Таблица №4. m-x30100200300400500600700x3f3(x3)/ F2(m-x3)02853709010612013300028537090106120133100151543688510512113520025255378951151313004040689311013040050507810312050062629011560073731017008282 Голубым цветом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 3-м предприятиям. Таблица №5. m0100200300400500600700F3(m)028537090106121135z3(m)000000100100 В следующей таблице заполняем только одну диагональ