Применение новейших экономико-математических методов для решения задач

Результат, указанный на рис.21 можно получить, выполнив следующие действия: 1.Вычислить определитель и выяснить, имеет ли система единственное решение. 2.Вычислить матрицу обратную к исходной. 3.Найти произведение обратной матрицы и вектор столбца свободных членов. Глава №3 Поиск решения… 3.1 Оптимизация Почти любую ситуацию, встречающуюся в личной, деловой или общественной жизни можно охарактеризовать как ситуацию принятия решения. Для задач принятия существенными являются следующие общие элементы: 1. Множества переменных и параметров. В их число входят: · множество разрешающих или эндогенных переменных, значения которых рассчитываются лицом, принимающим решение · множество внешних или экзогенных переменных, значения которых не контролируются лицом, принимающим решение · множество параметров, которые так же не контролируются и считаются в условиях задачи вполне определенными. 2. Модель множество соотношений, связывающих все переменные и параметры. 3. Целевая функция функция, значение которой зависит от значений эндогенных переменных. Эта функция позволяет лицу, принимающему решения оценивать варианты. 4. Численные методы методы, с помощью которых можно систематически оценивать результаты различных решений. Получение решения на модели, в конечном итоге, сводится к математической задаче нахождения некоторых вещественных значений эндогенных переменных, которые оптимизируют целевую функцию. Если до недавнего времени все четыре перечисленные выше элемента ложились на лицо принимающее решение, то теперь умение пользоваться встроенными функциями EXCEL снимает наиболее утомительный пункт, а именно, применения численных методов, и делает исследование задач принятия решений более эффективными, так как теперь для решения одной и той же задачи можно быстро просмотреть различного вида постановки, в том числе и отличающиеся друг от друга по структуре. 3.2 Условный экстремум Задание №6 EXCEL обладает мощным встроенным средством для нахождения экстремальных значений функции одной или нескольких переменных. Для одно-экстремальных функций можно найти безусловный глобальный экстремум. Для многоэкстремальных функций можно найти условный локальный экстремум. Для функций одной переменной поиск экстремума возможен как на всей числовой оси, так и на некотором интервале. Поиск на интервале уже можно считать поиском условного экстремума функции, т.к. появляются ограничения на изменение значений аргумента. Рассмотрим примет поиска условного экстремума функции. Найти минимум и максимум функции Y=X5 (6) на интервале [-1,1] и построить график. График функции показан на рис.2.2. Для поиска условного экстремума функции сформируем лист электронной таблицы, как показано на рис. 2.3. Функцию (6) запишем в клетку А2, где вместо переменной Х следует указать адрес ячейки А1, которая содержит начальное приближение экстремума.

рис.22. Для поиска минимума следует выполнить следующую последовательность действий: 1. Выполнить команду Сервис/Подбор параметра… (получим лист электронной таблицы, как показано на рис.23).

рис. 2.3 2. Заполнить диалоговое окно (рис.2.4).

рис. 2.4 2.1 Кликнуть левой клавишей мыши в поле, переместить указатель мыши и кликнуть на ячейке с формулой. 2.2 Выбрать поле Min. 2.3 В поле ввести адреса ячеек, значения которых будут варьироваться в процессе поиска решения. В нашем случае это клетка А1. 2.4 Кликнуть левой клавишей мыши в поле и затем на кнопке Добавить, откроем диалоговое окно (рис.2.2), которое заполняем, так как показано на рисунке. Так же добавляем второе ограничение. После щелчка на кнопке ОК получим решение поставленной задачи. В клетке А1 находится значение переменной Х равное, при котором функция (6) достигает минимального значения на интервале [-1,1]. Для поиска максимума следует выполнить ту же последовательность действий, выбрав при этом поле Max. Функция (6) достигает максимального значения на интервале при значении переменной, равном (рис.26). 3.3 Математическое программирование Анализируя возможности, можно заметить, что он применим для решения достаточно широкого класса задач математического программирования. Если задачу принятия решений в области управления можно сформулировать в виде оптимизации вещественной функции n неотрицательных вещественных переменных подчиненных m произвольным ограничениям: max f(x1, x2,…,xn) при g1 (x1,x2,…,xn)?0 g2 (x1,x2,…,xn)?0 ……. g3 (x1,x2,…,xn)?0 то позволяет найти решение такой задачи, которая в формальной подстановке может быть задачей: 1.линейного программирования (когда целевая функция и все ограничения - линейны) 2.нелинейного программирования (когда, либо целевая функция, либо хотя бы одно из ограничений - нелинейны) 3.целочисленного программирования (когда ограничение целочисленности налагается на все переменные) 4.частично целочисленного программирования (когда ограничение целочисленности налагается на часть переменных) 3.3.1 Линейное программирование Задание #7 Решить задачу линейного программирования с помощью Поиска решения…, показать графически область допустимых решений и целевую функцию. Найдем максимум функции F = -2x1 + 2x2>max при ограничениях: x1+ x2 ?1 -5x1 + x2 ?0,3 x1 x2 ?1 x1 + x2 ?6 x1 ?0 x2 ?0. Сформируем страницу электронной таблицы и постановку задачи линейного программирования в диалоговом окне Поиск решения…

рис 3.3 После выполнения поставленной задачи получаем следующие значения переменных.

рис 3.4 Как видим, при найденных значениях х1,х2 целевая функция принимает минимальное значение равное 2 и этому удовлетворяют все ограничения поставленной задачи. Графическое решение поставленной задачи выглядит так (рис. 3.5):

рис. 3.5

Задание #8

Авиакомпания МОГОЛ по заказу армии должна перевезти на некотором участке 700 человек. В распоряжении компании имеется два типа самолетов, которые можно использовать для перевозки. Самолет первого типа перевозит 30 пассажиров и имеет экипаж 3 человека, второго типа 65 и 5 соответственно. Эксплуатация 1 самолета первого типа обойдется 5000$ , а второго 9000$. Сколько надо использовать самолетов каждого типа, если для формирования экипажей имеется не более 60 человек.

Для начала, обозначим переменные: пусть X1 это оптимальное количество самолетов первого типа, X2 оптимальное количества самолетов второго типа. Очевидно, что стоимость эксплуатации самолетов должна быть минимальной. Следовательно, 5000X1 + 9000X2>min

Теперь определим ограничения. Для формирования экипажей имеется не более 60 человек, следовательно: 3X1+5X2<=60 Пассажиров надо перевезти не менее 700 человек, следовательно: 30X1+65X2>=700 Сформируем страницу электронной таблицы и постановку задачи линейного программирования в диалоговом окне:

После выполнения поставленной задачи получаем следующие значения переменных. Как показано на рис 3.6

Рис 3.6 Т.е. нам необходимо примерно (X1=8) 8 самолётов первого класса и (X2=6) 6 самолётов второго класса, для перевозки