Математические модели в теориях экономического цикла

называется стационарной. Д. Гейл показал, что она является локально устойчивой с случае Самуэльсона и локально неустойчивой в классической ситуации. Неустойчивость стационарной траектории означает, что обмен между поколениями, а также изменения уровня потребления и величины свободного времени происходят при любых, сколь угодно близких к единице, значениях индекса цен. Как справедливо считает Д. Гейл, случай Самуэльсона менее реалистичен, чем классический, в котором настоящее потребление предпочтительнее будущего. Именно этому в исследованиях моделей перекрывающихся поколений большое внимание, как правило, уделяется классическому случаю с неустойчивым стационарным состоянием. Дж. Бенхабиб и Р. Дэй (32) и Ж.-М. Грандмо (33) показали, что неустойчивая динамика потребления (32), цен и денег, ссужаемых молодому поколению (33), может принимать сложный, непериодический характер. Это происходит при достаточно сильном предпочтении потребления во времени (32) или в условий, когда воздействия межвременных эффектов дохода и замещения на выбор молодого поколения оказываются противонаправленными (33). В (32) модель перекрывающихся поколений выглядит так

Uo(co(t)) + U1(c1(t+1)) max, (32)

c1(t +1) = w1+Ot(wo - co(t)), (33)

(1+)(wo-co(t))+w1-c1 (t) =0, (34) co (t) 0, c1 (t +1)0, (35)

где co (t), c1 (t +1) - уровни потребления представителя молодого поколения в текущем и будущем периодах; Uo(co(t)) и U1(c1(t+1)) - функции полезносности, относящиеся к этим интервалам; Оt - относительная цена потребительного блага, которым располагает представитель молодого поколения в настоящем и в будущем (предложение труда, выраженное в единицах потребительского блага); - темп прироста численности населения. Уравнение (33) - бюджетное ограничение для молодого поколения; (34) - балансовое отношение обмена между поколениями в текущем периоде. Модели перекрывающихся поколений оказываются полезными также при исследовании свойств динамики макросистемы в условиях неопределенности. При этом гипотеза совершенного предвидения изменений цен заменяется гипотезой рациональных ожиданий, а традиционное понятие равновесия динамической системы - понятием равновесия солнечных пятен. В основе последнего - идея согласованности ожидаемых и действительных значений равновесных цен. Это направление исследований является достаточно новым, однако в нем уже имеются интересные результаты, в которых, например, устанавливается взаимосвязь детерминированных циклов и равновесия солнечных пятен. Таким образом, модели перекрывающихся поколений позволяют выявить ряд свойств экономической динамики, определяемых межвременным поведением участников. Эндогенные колебательные режимы могут быть объяснены при допущении таких условий, как отсутствие внешних возмущений (“белых шумов”), рациональное поведение индивидов и согласованные прогнозы и,. Наконец, равновесие рынка.

ВЫВОДЫ

Таким образом рассмотренные модели дают возможность сделать выводы о причинах и факторах возникновения эндогенных (самогенерирующихся) циклических колебаний в экономической системе. Несмотря на абстрактный характер допущений, принимаемых в моделях колебательных процессов, нельзя не отметить строгость и прозрачность выводов, получаемых на основе анализа. В теоретических исследованиях экономической динамики, которые могут быть отнесены к традиционным направлениям экономической науки, наибольшее внимание уделяется инвестиционному поведению. Последнее представляется в виде определенной зависимости между размерами инвестиций и характеристиками состояния экономической системы - прибылью, доходом, занятостью, ставкой процента и т.д. В неоклассических моделях роста рассматриваются инвестиции ex post, т.е. капитальные вложения, реально увеличивающие стоимость основного капитала. Поэтому соответствующие уравнения накопления (воспроизводства) ресурсов односекторных и много секторных моделей роста имеют смысл балансовых поношений типа “доходы - расходы” или “затраты - выпуск”. В неокейнсианких моделях более существенное значение имеет описание инвестиционных ожиданий или инвестиций ex ante в форме механизмов акселеративного типа. Именно такие механизмы приводят к неустойчивой динамике макросистемы и, в частности, к возникновению эндогенных циклических колебаний. В неоклассических моделях подобные колебания обусловлены характером межвременных предпочтений общества или индивида-представителя. Однако реальные колебательные процессы с большой условностью можно считать циклическими, имея в виду лишь последовательное чередование стадий цикла, а не строгую периодичность этих стадий. Чтобы дать более реалистическое описание таких процессов, необходимо создать модели, позволяющие выявить иррегулярную, хаотическую динамику экономических переменных. В последнее время появились работы, в которых делаются попытки построения плотность детерминированных динамических моделей с хаотическим поведением траекторий. Общий и, пожалуй, наиболее существенны недостаток всех традиционных - неоклассических и неокейнсианских - моделей экономической динамики состоит в том, что в них не представлены явном виде движущие силы экономических изменений. Поведенческие соотношения заданы на макроэкономическом уровне, или, в крайнем случае, на уровне производственного сектора. В неоклассической теории имеется богатый арсенал макромоделей, включающих описание микроэкономического поведения. Однако это - модели чисто статистические (модель равновесия Эрроу - Дебре и др.) Макроэкономическое моделирование динамических процессов в принципе полезно для теории, но оно не позволяет раскрыть рад важных сторон реальной динамики. Последовательные теоретические построения в данной области должны включать прежде всего объяснение внутренних экономических механизмов развития, выявление движущих сил, поведенческих мотивов и средств реализации изменений в экономических системах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аллен Р. Математическая экономия. М.: Изд-во иностран. лит.,1963. 2. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения. М.: Мир, 1980. 3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984. 4. Рейсиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974. 5. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.А., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наук. думка, 1986.

Приложение 1