Математические модели в теориях экономического цикла

предложение Калдора о функциях инвестиций и сбережений. Теперь они зависят от двух переменных: национального дохода и объема капитала - I = I (Y,K) и S = S (Y,K) , так что I/ Y > 0, S / Y > 0 и, кроме того, I/ K < 0, S / K< . Величина Y характеризует уровень экономической активности в макросистеме (переменная х в модели Калдора). Система имеет простой вид

Y = I (Y,K) - S (Y,K), (8)

K = I (Y,K) (9) где (8) описывает процесс настройки выпуска (дохода) на отклонение инвестиций от сбережений: когда I > S, доход возрастает, и наоборот; (9) - процесс накопления основного капитала: инвестиций ex ante принимаются равными фактическими чистыми инвестициями. При некоторых условиях на функции I (Y,K) и S (Y,K) - фазовая плоскость системы Чинга- Смита имеет вид, показанный на рис.5. Кривая АВ на этом рисунке соответствует условию равенства сбережений и инвестиций (I (Y,K) - S (Y,K)), а СD - условию нулевых инвестиций (I (Y,K) = 0); замкнутая кривая F - предельный цикл, на которой “наматываются” траектории системы (8) - (9). Стрелками на кривой F показаны циклические фазы увеличения и снижения переменных Y и K. Точка (Y,K), K = Y = 0, означает состояние равновесия систем (8) и (9), которое в соответствии с рис.5 является устойчивым. Условие неустойчивости состояния равновесия в содержательном смысле наиболее существенно. Оно требует, чтобы частная производная I/ Y была достаточно большой. Предельная “склонность” к инвестированию I/ Y - прямой аналог коэффициента акселерации в моделях мультипликатора-акселератора. В этом смысле выводы модели Чанга-Смита совпадают с основными результатами исследований Д.Хикса и П.Самуэльсона и др. Развитие ими первоначальной конструкции Калдора состояло не только в построении нормальной формальной модели и применении математического аппарата, адекватного теории делового цикла. У. Чанг и Д. Смит показали, что условия на функции инвестиций и сбережений, предложенные Н. Калдором в качестве необходимых и достаточных для возникновения в макроэкномической системе незатухающих самогенерирующихся колебаний, являются только лишь необходимыми. Чтобы такие колебания действительно возникали, требуется довольно ощутимый эффект акселерации инвестиций (запаздывание в этом эффекте не предполагается). Иначе описываемая моделью система устойчива: переменный “доход” и “капитал” при больших интервалах времени стремятся к равновесному состоянию. Автор дополнил модель уравнением изменения предложения денег: М = G - T(Y), где G - государственные расходы; T(Y) - налоги, величина которых зависит от уровня дохода. Однако не анализируется динамика полной кейнсианской системы “доход, процент, деньги” . Автор фактически ограничивается допущением о равновесии на денежном рынке в каждый момент времени и исследованием упущенной модели, описывающей динамику дохода и предложения денег. При таком допущении равновесная ставка процента - это функция дохода и предложения денег r = H (Y,M), а эффект акселерации может быть представлен как сумма прямого и косвенного эффектов: (I/Y+I/r)(H/Y). Косвенный эффект вызван воздействием равновесной процентной ставки на инвестиции. Будучи однонаправлен с прямым эффектом I/r < 0,H/Y < 0, он способствует возникновению колебательных режимов в системе “доход - деньги”. Этому же содействует увеличение налоговых ставок при недостаточно высокой предельной склонности к сбережениям S/Y< 1.

3. ИРРЕГУЛЯРНЫЕ КОЛЕБЫТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МОДЕЛЯХ ПЕРЕКРЫВАЮЩИХСЯ ПОКОЛЕНИЙ.

Рассмотренные модели позволяют объяснить возникновение эндогенных колебаний основных макроэкономических переменных: национального дохода, капитала, процента, занятости, заработной платы и др. Общий недостаток их состоит в том, что описываемые ими циклические процессы имеют периодический характер. В существенной мере это связано со спецификой аналитического аппарата - качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости. Основными результатами данной теории являются теорема Пуанкаре - Белдиксона, теорема Андронова - Хопфа о бифуркациях рождения предельного цикла, классификация качественных типов поведения траекторий двумерных систем и некоторые другие. Используя такой аппарат, невозможно объяснить непериодические, иррегулярные колебательные процессы, эндогенно возникающие при изменении режимов экономической динамики. Характерно, что колебания макропоказателей во многих случаях далеки от того, чтобы считаться строго циклическими (иррегулярными). Исследование экзогенных непериодических экономических колебаний обычно проводится с помощью аппарата линейных стохастических дифференциальных или разностных уравнений (7). Чтобы объяснить появление эндогенных непериодических колебаний, необходимо рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения, имеющие размерность больше двух, или нелинейные разностные уравнения. В последнее время заметно возрос интерес исследователей к применению такого рода динамических систем, поскольку стало возможным описать сложное, хаотическое поведение экономических переменных в рамках малоразмерных детерминированных моделей. Такие модели могут отражать различные стороны макроэкономической динамики и, в частности, процессы взаимодействия разновозрастных поколений индивидов, осуществляющих межвременный выбор. Имеются в виду так называемые модели перекрывающихся поколений, исследованные в ряде работ. В каждые дискретный период в описываемой системе сосуществуют два поколения индивидов - молодое и старое, представленных двумя участниками. Молодой осуществляет выбор между уровнем потребления и величиной свободного времени в текущем и в будущем периодах. Считается, что продолжительность жизнедеятельности каждого поколения равна двум периодам, количество же последних же последних, а следовательно, и общее число поколений неограниченно. Выбор молодого поколения согласуется, во-первых, с решением, принятым старым поколением в предшествующем временном интервале, во-вторых, с его собственным бюджетным ограничением, относящимся к постоянному и последующему периодам, и, в-третьих, с совершенной информацией об изменении уровня цен в будущем. При этом возможны две ситуации обмена между поколениями. В одной (классическая ситуация) молодые участники становятся должниками старых в первом периоде и в свою очередь ссужают последующие молодое поколение во втором. В другой (случай Самуэльсона) молодое поколение вначале делает сбережения, передавая их старому, а замет получает обратно свою ссуду от следующего поколения. Стимулом обмена в обоих случаях является отклонение индекса цен потребительских товаров Оt = pt/ pt+1, от единицы. Предвидя, например, уменьшение цен в следующем периоде, индивиды планируют увеличение потребления и свободного времени в будущем и некоторое их изменение в настоящем. Направление такого изменения определяется характером межвременных предпочтений. Если в первые два момента времени индекс цен равен единице, то в дальнейшем обмен между поколениями не происходит. Траектория индекса цен, тождественно равная единице,