Математические модели в теориях экономического цикла

является также центральным пунктом в модели, предложенной М. Калецким в (10). В ней рассматривается динамика основного капитала на макроуровне. Ее особенность - учет двух типов запаздывания: в решениях об инвестировании и в осуществлении капитальных вложений. Динамика переменных в модели Калецкого задана в непрерывном времени, а уравнение капитала принимает форму линейного дифференциально-разностного соотношения (10). В одном из вариантов модели Гудвина (11) также учитывается два запаздывания - в процессе мультипликации национального дохода и в реализации инвестиций, связанных с эффектом акселерации. В отличие от модели (10) здесь описывается динамика национального дохода и рассматривается нелинейная форма акселератора К = (Y), dK/dt = Y, где t - непрерывное время ( приложение 1). Экономический смысл такой формы заключается в предположении о снижении эффекта акселерации при больших приростах и уменьшениях национального дохода. В основе модели Гудвина лежит балансовое соотношение между произведенным и использованным доходом, аналогичное (1)

Y (t) = C (t) + K(t) - Y(t), (6)

где K - объем чистых инвестиций; Y - отражает действие мультипликатора с лангом, равным . Гудвин рассматривает потребление в виде линейной функции дохода C = Y + Co, а чистые инвестиции - как сумму автономных и индуцированных инвестиций К = J + Y (t - O) , где O - лаг в осуществлении инвестиций. С учетом сделанных предложений (6) принимает форму дифференциально-разностного уравнения

Y(t) + (1 - ) Y (t) - Y (t - O) = Co + J, которое аппроксимируется нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка

OY + Y - (Y) + (1-)Y = Co + J, где = + (1- ) O. Замена переменной позволяет привести последнее уравнение к виду

х + F(x) + x = O, (6) где х - линейная функция Y; F ( ) - функция, имеющая вид кубической параболы. Для (7), известного как уравнение Рэлея, доказано существование, единственность и глобальная устойчивость предельного цикла. Такой цикл представляет собой замкнутую траекторию, к которой сходятся любые другие траектории системы. Данный факт следует понимать как доказательство существование я описываемой системе самогенерирующихся незатухающих колебаний. Их амплитудные показатели определяются свойствами (7), а не начальными условиями, что характерно для линейных уравнений второго порядка или для некоторых структурно неустойчивых нелинейных систем. Наличие таких колебаний обусловлено прежде всего функцией F (x) и соответственно формулой нелинейного акселератора с западыванием Y (t - O). Именно этот результат работы Гудвина представляет наиболее значимым для дальнейшего развития теорий и моделей экономических колебаний. Исследованию процессов взаимодействия мультипликатора и акселератора посвящены многие работы. В них динамика макроэкономической системы описывается линейными разностными или дифференциальными уравнениями и по существу аналогична типам поведения траекторий модели Самуэльсона - Хикса. Важной чертой всех этих моделей является, с одной стороны, использование простых балансовых макросоотношений, например, тождества национального дохода, равенства инвестиций и сбережений, а с другой - введение в той или иной форме запаздываний в описание механизма мультиплликатора - акселератора. Именно учет запаздываний позволяет выявить колебательные режимы в моделях подобного типа. Имеются, однако, и другие попытки дать объяснения экономическим циклам, не основанные на предложении о равенстве сбережений и инвестиций.

2. МОДЕЛЬ КОЛДОРА И ЕЕ МОДИФИКАЦИИ.

Неокейсианские теории экономических колебаний включает направление исследований, у истоков которого находится модель делового цикла Калдора. В ней в центре внимания - неравновесные процессы на рынке капитала, которые самовоспроизводятся за рамками краткосрочного периода. Модель сформулирована в виде следующих рассуждений. Предполагается, что инвестиции и сбережения ex ante являются нелинейными функциями от показателя, характеризующего уровень экономической активности: I(x) и S(x). У Калдора таким показателем служит занятость. Считается, что ex ante функции I(x) и S(x) имеют вид, представленный на рисунке (3). Точки А, В и С на нем соответствуют равновесным значениям занятости, т.к. в них I(x)= S(x). Если выполнено условие I(x) S(x), т.е. спрос на капитал больше его предложения, то это означает увеличение экономической активности (рост х). Если I(x) S(x), то занятость падает. Поэтому точки равновесия А и С являются устойчивыми, тогда как В - неустойчивая. Это вытекает из гипотез Калдора о функциях инвестиций и сбережений: dI/dx < dS/dx при большой или малой активности (в районе точек равновесия А и С) и dI/dx > dS/dx при нормальной активности ( в районе точки В). Данные гипотезы интерпретируются следующим образом: при ненормально высокой и ненормально низкой активности стимулы и возможности к дополнительному инвестированию намного меньше, чем стимулы к дополнительному сбережению; наоборот, при нормальном уровне активности предельная склонность к инвестированию превышает предельную склонность к сбережению. Функция I(x) и S(x) краткосрочные, поскольку они неизменны при фиксированной величине основного капитала. В долгосрочном периоде эти зависимости меняются под влиянием изменений запаса капитальных благ. Сдвиги кривых I(x) и S(x) в свою очередь определяют циклическую динамику величины капитала и занятости. При достаточно высоком уровне активности кривая S(x) постепенно движется вверх, а I(x) - вниз. Точка равновесия В сближается с С. После этого как эти две точки совпадут, графики функций выглядит так, как показано на рис.4. Поскольку теперь для всех х > A выполнено S(x) > I(x), то уровень занятости начинает быстро падать в зависимости от степени превышения S(x) над I(x), достигая состояния равновесия при малой активности в точке А. Затем процесс идет в обратном направлении: сначала I(x) движется вверх, а S(x) - вниз, и после совпадения точек А и В занятость резко увеличивается до равновесного уровня С. Как считает Н. Калдор, такой циклический процесс не является затухающим. Схема Калдора вызвала определенный интерес у последующих поколений исследователей. Она дала возможность более изящного использования теоремы Пуанкаре - Бендиксона для доказательства существования предельного цикла в двумерной нелинейной системе, описывающей схему Калдора. Согласно данной теореме - классическому результату качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости - устойчивый предельный цикл существует, при траектории системы остаются при любых t 0, в некоторой замкнутой области D, не содержащей особых точек. В частности система содержит устойчивый предельный цикл, если ее траектории ограничены, а точки равновесия неустойчивы. Например, на рис.2 изображены множество D (его граница выделена пунктиром), предельный цикл L и неустойчивая особая точка Y. Рассмотрим подробнее модель Чинга - Смита, Чтобы построить динамическую систему, описывающую цикл, авторы несколько изменили