Оптимизация показателей

Для вирішення задачі лінейного програмування, потрібно записати вихідну задачу в формі задачі лінейного програмування, а потім застосовувати симплекс-метод . Основною задачею лінійного програмування задача для якої: 1. потрібно визначити максимальне значення ф-ції 2. всі обмеження записані в вигляді рівностей 3. для всіх змінних виконується умова невідємності Якщо обмеження має вид нерівності зі знаком >=, то шляхом множення його на (-1) переходять до нерівності зі знаком <=. Від обмежень нерівностей необхідно перейти до обмежень рівностей. Такий перехід виконується шляхом введення в ліву частину кожної нерівності додаткових незалежних невідємних змінних. При цьому знак нерівності міняють на знак рівності. Вихідне завдання: F = 5х1 +6х2 max -10x1 - 6x2 -60 -4x1 + 9x2 36 4x1 - 2x2 8 x1,x20 x1,x2-цілі числа

Основна задача: F = 5х1 +6х2 max

10x1 + 6x2 + х3 =60 -4x1 + 9x2 +х4= 36 4x1 - 2x2 +х5 = 8

x1,x2,x3,x4,x5 0 x1,x2-цілі числа Кожній змінній в системі відповідає свій вектор стовпець. Вектор стовпець Ро складається із значень правих частин рівнянь і називається вектором вільних членів. Виходячи з основного завдання, складаєм симплекс-таблицю. № рядкаБазисСбР0Р1Р2Р3Р4Р51Р30601061002Р4036-490103Р5084-20014F0-5-6000Таблиця № 1 Вихідна симплекс-таблиця

Знаходження оптимального розвязку ЗЛП за допмогою с-м включає слідуючі етапи: 1. За вихідною с-т знаходять опорне рішення Кожній с-т відповідає своє опорне рішення. Воно може бути представлене у вигляди вектора Х Розмірніст вектора дорівнює кількості змінних в основній задачі. Кожній змінній в симплекс таблиці відповідає свій вектор. Змінній x1вектор Р1 і т.д. Вектор Р0 складений із вільних членів рівнянь. Кожний рядок симплекс-таблиці рівняння відповідно. Четвертий рядокрядок оцінок в ньому записують коефіцієнти при змінних в цільовій ф-ції з протилежним знаком і визначається розвязуємий стовпець, беруться модулі відємних чисел з цієї строки. В векторі Х кожній змінній відповідає певна компонента. Змінній х1 перша компонента змінній х2друга. Значення компонент визначають слідуючим чином, якщо вектор базисний, то компонента дорівнює значенню компоненти вектора стовпця Р0 з того рідка де в базисі стоїть 1. У вихідній таблиці вектори Р1, Р2 не базісні, тобто в Х перша и друга компоненти = 0 Х=(0;0;60;36;8) 2. Зясовують, мається хочаб одне відємне значення врядку оцінок ( рядок 4) Якщо нема то план оптимальний, якщо є треба переходити до новій с-т. Рядок оцінок має (-5) та (-6), отже данний опорний план не оптимальний. 3. Знаходять визначальний стовпець. Стовпець називають визначальним, якщо в рядку оцінок у нього найбільше за модулем значення. Маємо стовпець Р2 |-6|>|-5| 4. Знаходимо визначальний рядок. Визанчальним назівається такий рядок, який відповідає найменшому з відношень компонентів стовпця Ро до додатніх компонентів визначального стовпця. (Рядок оцінок до уваги не приймається) Min = ( 60/6; 36/9) = 4 рядок 2. 5. Будують наступну с-т . Для цього кожний елемент таблиці перераховуємо за формулою aij=aij- (аіk* аnj)/ank де k-номер розвязувального стовпця, а n- номер розвязувального рядка aijелемент строки- і, стовпця- j нової сиплекс таблиці aijелемент строки- і, стовпця-j попередньої симплекс-таблиці аіk-- елемент що знаходиться у визначальному стовпці попер. с-т. аnj-- елемент що знаходиться у визначальному рядку попер с-т. ank элемент що стоїть на перехресті визн рядка и строки у попер сим-т.

a10= 60 (36*6)/9 = 36 a11= 10 +(6*4)/9 = 38/3 № рядкаБазисСбР0Р1Р2Р3Р4Р51Р303600-1 1/502Р264-4/9111/503Р501628/9003/514F24-23/3001 1/50Таблиця № 2

Х1=(0;4;36;0;16) F(X1) = 24 В рядку оцінок є одне відємне число. Тому Р1 визначальний стовпець Min = ( 36/38*3;16/4;9) = 54/19 визначальний рядок Р3

Таблиця № 3

№ рядкаБазисСбР0Р1Р2Р3Р4Р51Р1554/19103/38-1/1902Р26100/19012/575/5703Р50136/1900-14/5722/5714F870/190021/385/190X3= ( 54/19;100/19;0;0;136/19) F3(X3) = 45 15/19 В рядку оцінок нема відємних значень, тому даний опорний план є оптимальним. Але не виконується умова цілочисельності, тому слід застосувати відсічення по методу Гоморі. 2. Застосування і побудова відсічення по методу Гоморі х1=54/19, х2=100/19 До системи обмежень основного завдання добавляємо ще одну нерівність виду: F(a*ij)*xij>= F(b*ij), де a*ij і b*ij дробови частини чисел. Під дробовою частиною числа а розуміють найменше невідємне число в і таке, що а в є цілим числом.Якщо в оптимальному плані вихідного завдання дробового значення приймають декілька змінних, то додаткова нерівність будується для змінної, в якої найбільша дробова частина. F(x1)>F(x2) (16/19 >5/19) -3/38х3-18/19х4 + х6 = -16/19 таблиця № 4 № рядкаБазисСбР0Р1Р2Р3Р4Р5Р61Р1554/19103/38-1/19002Р26100/19012/575/57003Р50136/1900-14/5722/19104Р60-16/1900-3/38-18/19015F870/190023/385/1900 Х4 = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X4) = 45 15/19 Т.к. опорний план містить відємну змінну то треба застосувати подвійний с. м. 3. Відшукання розвязку ЗЛП подвійним с-м включає слідуючі етапи: 1. Знахдять опорне рішення Х4 = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X4) = 45 15/19 2. Перевіряють знайдений опорний розвязок на оптимальність. Розвязок не оптимальний, тому слід перейти до нового опорного рішення. 3. Вибираемо визначальний рядок. Визначальним називається той, який відповідає найбільшому за модулем відємному значенню в стовпцю Ро Рядок № 4 4. Вибираємо визначальний стовпчик. Той, який відповідає найменшему відношенню рядка оцінок до ньгого. (по модулю) Min = (23/38*38/3;5/19*19/18) = 5/18 стовпець Р4

Таблиця № 5 № рядкаБазисСбР0Р1Р2Р3Р4Р5Р61Р1526/9101/1200-1/182Р26140/27011/36005/543Р501048/17100-13/380111/94Р408/9001/1210-19/185F410/9007/12005/18 Х5= (26/9;140/27;0;0;8/9;1048/171) F5 = 45 5/9 F(x1) = f ( 2 8/9) = 8/9 F (x2) = f ( 5 5/27) = 5/27

-1/12х3 17/18х6 + х7 = -8/9

таблица № 6 № рядкаБазисСбР0Р1Р2Р3Р4Р5Р6Р71Р1526/9101/1200-1/1802Р26140/27011/36005/5403Р501048/17100-13/380111/904Р408/9001/1210-19/1805Р70-8/900-1/1200-17/1816F410/9007/12005/180

Таблица № 7 № рядкаБазисСбР0Р1Р2Р3Р4Р5Р6Р71Р1550/17103/34000-1/172Р26260/51011/570005/573Р501608/32300-436/96901011/174Р4032/17003/17100-19/175Р6016/17003/34001-18/176F770/170019/340005/17 Х6= ( 50/17;260/51;0;32/17;1608/323;16/17) F6 = 45 5/17 Будуємо нове відсічення: F(x1) = f(2 16/17) = f(16/17) = 16/17 F(x2) = f (5 5/51) = f(5/51) = 5/51 F(x1)> F(x2)

-3/34x3 16/17x7 + x8 = -16/17

таблица №8 № рядкаБазисСбР0Р1Р2Р3Р4Р5Р6Р7Р81Р1550/17103/34000-1/1702Р26260/51011/570005/5703Р501608/32300-436/96901022/1704Р4032/17003/17100-19/1705Р6616/17003/34001-18/1706Р80-16/1700-3/34000-16/1717F770/170019/340005/170

Таблица №9 № рядкаБазисСбР0Р1Р2Р3Р4Р5Р6Р7Р81Р153103/32000002Р265011/96000003Р5070/1900-521/912010004Р403009/32100005Р602003/16001006Р701003/32000117F450017/3200000 Х*=(3; 5) F*=45

4. Геометирчна интерпретація процесу розвязку. Геометирчна интерпретація процесу розвязку