Формирование эконом-математической модели

Формирование экономико-математической модели.

Постановка задачи.

Пусть имеется пять предприятий-изготовителей и одиннадцать потребителей одинаковой продукции. Известны производственные мощности изготовителей и потребности потребителей. Суммарные мощности предприятий больше потребности потребителей. Производственные мощности изготовителя составляют Ai. Потребность потребителя продукции равна Bj. На выпуск единицы продукции изготовитель i расходует Ri затрат. Известны затраты на доставку единицы продукции из пункта i в пункт j Cij. Издержки транспорта значительны и должны быть включены в целевую функцию. Требуется составить такой план производства и поставок, чтобы суммарные расходы на производство и транспортировку были минимальны.

Математическая формулировка задачи. Удовлетворение всех потребностей: Xij = Bj Неотрицательность грузовых потоков: Xij >= 0 Соблюдение ограничений мощности: Xij <= Ai Целевая функция: (Ri + Cij)*Xij -> min От обычной транспортной задачи поставленная задача отличается тем, что показатель оптимальности складывается из двух составляющих. Однако, общие затраты на производство и транспортировку определяются простым суммированием. Таким образом, поставленная задача является открытой транспортной задачей.

Исходные данные ПредприятиеА1А2А3А4А5Производственные мощности135160140175165Затраты на ед. продукции в рублях11993817062ПотребителиВ1В2В3В4В5В6В7В8В9В10Спрос потребителей30456050456579874430

Матрица транспортных затрат, руб. (получена на основе данных по сети)

ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10ОтправителиНомера вершин31224351930169315A1241344564414631384118A233472212211371236236A32635147331516241024A42140403839313742294251A51321161947131918102419 Суммированием затрат на производство и транспортных затрат в каждой клетке матрицы получаем расчетную матрицу.

Расчетная матрица стоимостных затрат.

ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10Отправи телиРесурсыA1135160153164183160165150157160137A216014011510511410610010512995129A3140116958811482869710591105A417511011010810910110611299112121A5165837881109758180728681 Так как транспортная задача открытая, то мощности превышают потребности. Часть поставщиков в оптимальном плане остается недозагруженной. Для решения задачи в матричной форме вводится фиктивный потребитель дополнительный столбец с потребностью, равной избытку ресурсов над реальными потребностями.

Решение транспортной задачи.

Исходные данные.

ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9В10В11Отправи телиРесурсы30456050456579874430240A11351601531641831601651501571601370A2160140115105114106100105129951290A31401169588114828697105911050A4175110110108109101106112991121210A51658378811097581807286810Итого 775

Решение

ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11Отправи телиРесурсы30456050456579874430240A11351601531641831601651501571601370135A2160140115105114106100105129951290494467A31401169588114828697105911050456530A417511011010810910110611299112121020873038A5165837881109758180728681030456030Итого 775

Для подтверждения правильности решения оптимальный план, полученный в данной таблице проверяется методом потенциалов на соблюдение условий оптимальности . Условие оптимальности выглядит следующим образом: Vij Uij <= Cij Vij Uij = Cij , если Xij > 0 Для всех клеток матрицы разность потенциалов столбца и строки меньше или равна показателю оптимальности, для занятых клеток точно равна его значению. Первый потенциал может быть присвоен любой строке или столбцу. В данном случае первый потенциал присвоен базисной клетке, где затраты на транспортировку максимальны (А4 В10).

Проверка решения методом потенциалов.

Потребители B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11ОтправителРесурсы30456050456579874430240A11351601531641831601651501571601370150135A2160140115105114106100105129951290150494467A31401169588114828697105911050158456530A417511011010810910110611299112121015020873038A5165837881109758180728681015030456030233228231259240244255249245271150

ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11ОтправителРесурсы30456050456579874430240A1135504862746465455150350135A216030103510003002703079447A314020401900620101720604535A41750560567017190502798A51650002702201802730456030 Далее следует сравнить Целевую функцию в решении задачи (F1) и целевую функцию, полученную при решении потенциалов (F2), если F1 > F2, то план оптимален.

ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11ОтправитеРесурсы30456050456579874430240A11351601531641831601651501571601370135A2160140115105114106100105129951290494467A31401169588114828697105911050456530A417511011010810910110611299112121020873038A5165837881109758180728681030456030Цел. Ф-ия (F1)24903510486054503690559080558613418036300Цел. Ф-ия (F1)50068ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11ОтправителРесурсы30456050456579874430240A11351601531641831601651501571601370135A21601401151051141061001051299512903079447A31401169588114828697105911050604535A4175110110108109101106112991121210502798A5165837881109758180728681030456030Цел. Ф-ия (F2)24903510528054503690601082956993418024300Цел. Ф-ия (F2)48328Т.к. 50068 > 48328 , то план оптимален, т.е. условие оптимальности соблюдается во всех клетках матрицы, следовательно задача решена правильно.

Вывод.

Разработанный оптимальный план обеспечивает минимальные затраты на производство и транспортировку продукции из пяти пунктов производства в десять пунктов потребления. На основе решения транспортной задачи определены поставки каждого пункта производства в пункты потребления, производственные программы по заводам изготовителям и резервы производственных мощностей. Резерв производственной мощности на заводе А1 составляет 135 единиц (поставки фиктивному потребителю), на заводе А2 7 единиц, на заводе А4 98 единиц, остальные предприятия резервов не имеют. Минимальные затраты на транспортировку и производство составили 48328 рублей. Затраты на производство продукции в составе суммарных затрат определяются умножением затрат на производство единицы продукции на производственную программу и составят: 119*0+93*153+81*140+70*77+62*165= 14229+11340+5390+10230=41189 рублей или 85,2%. Затраты на транспортировку составляют 7139 рублей или 14,8%. Такую долю транспортных затрат для готовой продукции следует считать довольно высокой, хотя по отдельным видам дешевых массовых грузов эта доля может быть значительно выше.

Исходные данныеПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B1130456050456579874430240775A11351601531641831601651501571601370135A2160140115105114106100105129951290494467A31401169588114828697105911050456530A417511011010810910110611299112121020873038A5165837881109758180728681030456030775 Потребители B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11ОтправителиРесурсы30456050456579874430240A11351601531641831601651501571601370150135A2160140115105114106100105129951290150494467A31401169588114828697105911050158456530A417511011010810910110611299112121015020873038A516583788110975818072868101503045603023322823