Розрахунок стратегій діяльності автотранспортних підприємств

щоб множина оптимальних рішень мала багато “хороших” якостей. Однак часто буває так, що ці хороші якості суперечливі, і для багатьох широких класів ігор оптимальних рішень не існує. Тому для гри загального виду від оптимальності доводиться вимагати менше, ніж б хотілося. Розв”язування ігор, що відповідають таким поняттям оптимальності, які в наступному повинні уточнятися, деколи називають передрішеннями. Рішення є оптимальними, тобто такими, що потенційно реалізуються, якщо жодне об”єднання не зацікавлене в тому, щоб виключити його з числа можливих або кожним зацікавленим, що не може цього зробити. В основу відпрацювання поняття оптимальності для антагоністичних ігор можна покласти наступні міркування. Якщо другий гравець має в грі Г= тільки одну стратегію yo, тобто y={yo}, то оптимальною стратегією першого гравця та його стратегія, для якої функція Н(*,yo)R досягає на x свого максимуму. Якщо другий гравець має в грі Г більше однієї стратегії і апріорнаі можливості їх використання першому гравцеві невідомі, або зовсім немає сенсу говорити про ці можливості, тоді все вище вказане неможливо застосувати. Однак на основі сказаного природньо вважати, що оптимальність для першого гравця складається, у всякому разі, у деякій максимізації. Говорячи формально, це означає, що оптимальною стратегією першого гравця в разі вільної гри Г буде та його стратегія, на якій досягається максимум від деякого функціонала f, визначеного на сімействі всіх функцій виду

Н(*,yo):XR, y єY (3.2)

Принцип оптимальності, що базуєтьсяч на максимізації мінімального виграшу, називається принципом максиміну, а вибраниа першим гравцем на його основі стратегія - максимінною стратегією. Розумною стратегією другого гравця можна вважати ту, при якій найбільші його втрати виявляються мінімальними. Такий принцип оптимальності, що базується на мінімізації максимальних витрат, називається принципом мінімакса, а стратегія для другого гравця, що вибирається у відповідності до цього принципу - мінімаксною стратегією. Відмітимо, що принцип мінімакса, що приймається другим гравцем, є таким з точки зору першого; з власного ж погляду другого гравця , що оцінює свій виграш - Н, його слід називати принципом максиміна. В загальному принцип оптимальності є таке правило, яке потрібне для рішення конкретної проблеми. Саме цілями дослідження багато в чому визначаються необхідні властивості отриманого результату.

3.3 Змішане розширення матричної гри

По будь-якій матричній грі можна побудувати гру, стратегіями якої є змішані стратегії початкової матричної гри. Змішаними стратегіями гравця називається повний набір можливостей застосування його чистих стратегій. Пара (X,Y) змішаних стратегій гри Г= називається антагоністична гра Г=, в якій множинами стратегій гравців є множини їх змішаних стратегій в початковій грі. Матрична гра, очевидно, є передгрою свого змішаного розширення. Для сідлових точок ігор справедливе звернення до властивості незалежності від сторонніх альтернатив. Крім цього, ця властивість поширюється і на оптимальні стратегії гравців. Із наявності у матричної гри значення слідує його наявність і в її змішаному розширенні, а також рівність цих двох значень. 3.4 Методи розв”язування матричних ігор

Розглянемо деякі зручні методи розв”язування матричних ігор. Перший метод розв”язування матричної гри за допомогою лінійного програмування. У цьому методі припускається, що ціна гри додатня. Ця умова не порушує загальності, так як згідно теореми завжди можна підібрати таке число, додавання якого до всіх елементів матриці виграшів завжди дає матрицю з додатніх елементів, а, отже, з додатніми значеннями ціни гри. при цьому оптимальні змішані стратегії обох гравців не змінюються. Так, нехай задана матрична гра з матрицею А=( аij) порядку m*n. Оптимальні змішані стратегії x(x1,...,xi,....,xm), y(y1,....,yi,.....,yn) відповідно першого і другого гравця і ціна гри v повинна задовільняти умовам: (3.3)

Поділимо всі рівняння і нерівності (3.3) на v ( це можна зробити, адже ми припустили що v>0) і введемо наступні позначення:

(3.4)

Отримаємо відповідно задачі (3.3) в наступному вигляді (3.5)

Оскільки перший гравець прагне знайти такі значеня xi, а значить і рі, щоб ціна гри v була максимальна, то розв”язування першої задачі зводиться до знаходження невід”ємних значень рі(і=1,2...m) при яких

(3.6) Оскільки другий гравець прагне знайти такі значеня уi, а значить і qі, щоб ціна гри v була максимальна, то розв”язування першої задачі зводиться до знаходження невід”ємних значень qі(і=1,2...m) при яких (3.7) Формули (3.6) та (3.7) виражають двоїсті одна одній задчі лінійного програмування. Для рішення задач існують досить хороші методи, одним з яких є симплекс метод. Розв”язавши ці задачі, отримаємо значення рі і qі та v. Тоді змішані стратегії, тобто значення xi i yi отримаємо за формулами

xi=vpi (i=1,2...m), yj=vqj (j=1,2...n) . (3.8)

Звичайно це найпростіший метод розв”язання і крім нього є розроблено багато методів, в тому числі і методи, які дозволяють працювати з матрицями, які не відповідають умовам (3.4). Другий метод зведення матричних ігор до задачі лінійного програмування. У цьому випадку ціна гри може бути довільною. Відомо, що оптимальні змішані стратегії x(x1,…,xi,….,xm), y(y1,…,yj,…,yn) і ціна гри з матрицею А=(аij) порядку mxn повинні задовільняти умовам . Ввівши додаткові невід”ємні змінні xm+1 для j-ої нерівності (j=1,2,…n) з (3.3) та для і-ої нерівності (j=1,2,…m) з (3.3) отримуємо наступні рівняння (3.9)

(3.10) Виділимо у (3.10) першу частину рівності при j=1 і віднімемо її від усіх рівностей для j=2,…,n, отримаємо

, (3.11) (3.12)

Оскільки перший гравець намагається максимізувати v за рахунок свої стратегій, то рішення системи зводиться до наступної задачі лінійного програмування: знайти максимум лінійної форми (3.4) при лінійних обмеженнях (3.11). Аналогічно робимо при рішенні системи (3.12) , (3.13) (3.14) Оскільки другий гравець намагається мінімізувати v за рахунок своїх стратегій, то рішення системи (3.14) зводиться до наступної задачі лінійного програмування : знайти мінімум лінійної форми (3.5) при лінійних обмеженнях (3.13)

4. Постановка задачі 4.1 Економічна суть задачі Наявна економічна ситуація в країні характеризується глибокими кризовими явищами у всіх сферах народного господарства. При чому, відмічаючи загальне тяжіння світової економіки до переміщення ресурсів з сфери виробництва до сфери послуг, питання подальшого розвитку транспортної інфраструктури української економіки, вибір оптимальних стратегій діяльності стає все більш актуальним, особливо за умов невизначеності як на ринку, так і в правовому полі діяльності. Очевидно, що випадки, коли різні учасники ринку мають відмінні інтереси, коли на рівні підприємства є можливість декількох напрямків як поточної діяльності, так і подальшого розвитку