Динамическое программирование

Курсовая работа по теории оптимального управления экономическими системами. Тема : Задача динамического программирования.

I.Основные понятия и обозначения.

Динамическое программирование это математический метод поиска оптимального управления, специально приспособленный к многошаговым процессам. Рассмотрим пример такого процесса. Пусть планируется деятельность группы предприятий на N лет. Здесь шагом является один год. В начале 1-го года на развитие предприятий выделяются средства, которые должны быть как-то распределены между этими предприятиями. В процессе их функционирования выделенные средства частично расходуются. Каждое предприятие за год приносит некоторый доход, зависящий от вложенных средств. В начале года имеющиеся средства могут перераспределяться между предприятиями : каждому из них выделяется какая-то доля средств. Ставится вопрос : как в начале каждого года распределять имеющиеся средства между предприятиями, чтобы суммарный доход от всех предприятий за N лет был максимальным? Перед нами типичная задача динамического программирования, в которой рассматривается управляемый процесс функционирование группы предприятий. Управление процессом состоит в распределении (и перераспределении) средств. Управляющим воздействием (УВ) является выделене каких-то средств каждому из предприятий в начале года. УВ на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий в будущем. УВ должно быть дальновидным, с учетом перспективы. Нет смысла выбирать на рассматриваемом шаге наилучшее УВ, если в дальнейшем это помешает получить наилучшие результаты других шагов. УВ на каждом шаге надо выбирать “c заглядыванием в будущее”, иначе возможны серьезные ошибки. Действительно, предположим, что в рассмотренной группе предприятий одни заняты выпуском предметов потребления, а другие производят для этого машины. Причем целью является получение за N лет максимального объема выпуска предметов потребления. Пусть планируются капиталовложения на первый год. Исходя их узких интересов данного шага (года), мы должны были бы все средства вложить в производство предметов потребления, пустить имеющиеся машины на полную мощность и добиться к концу года максимального объема продукции. Но правильным ли будет такое решение в целом? Очевидно, нет. Имея в виду будущее, необходимо выделить какую-то долю средств и на производство машин. При этом объем продукции за первый год, естественно, снизится, зато будут созданы условия, позволяющие увеличивать ее производство в последующие годы. В формализме решения задач методом динамического программирования будут использоваться следующие обозначения: N число шагов. вектор,описывающий состояние системы на k-м шаге. начальное состояние, т. е. cостояние на 1-м шаге. конечное состояние, т. е. cостояние на последнем шаге. Xk область допустимых состояний на k-ом шаге. вектор УВ на k-ом шаге, обеспечивающий переход системы из состояния xk-1 в состояние xk. Uk область допустимых УВ на k-ом шаге. Wk величина выигрыша, полученного в результате реализации k-го шага. S общий выигрыш за N шагов. вектор оптимальной стратегии управления или ОУВ за N шагов. Sk+1() максимальный выигрыш, получаемый при переходе из любого состояния в конечное состояние при оптимальной стратегии управления начиная с (k+1)-го шага. S1() максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе системы из начального состояния в конечное при реализации оптимальной стратегии управления . Очевидно, что S = S1(), если фиксировано. Метод динамического программирования опирается на условие отсутствия последействия и условие аддитивности целевой функции. Условие отсутствия последействия. Состояние , в которое перешла система за один k-й шаг, зависит от состояния и выбранного УВ и не зависит от того, каким образом система пришла в состояние , то есть

Аналогично, величина выигрыша Wk зависит от состояния и выбранного УВ , то есть

Условие аддитивности целевой функции. Общий выигрыш за N шагов вычисляется по формуле

Определение. Оптимальной стратегией управления называется совокупность УВ , то есть , в результате реализации которых система за N шагов переходит из начального состояния в конечное и при этом общий выигрыш S принимает наибольшее значение. Условие отсутствия последействия позволяет сформулировать принцип оптимальности Белмана. Принцип оптимальности. Каково бы ни было допустимое состояние системы перед очередным i-м шагом, надо выбрать допустимое УВ на этом шаге так, чтобы выигрыш Wi на i-м шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным. В качестве примера постановки задачи оптимального управления продолжим рассмотрение задачи управления финансированием группы предприятий. Пусть в начале i-го года группе предприятий выделяются соответственно средства: совокупность этих значений можно считать управлением на i-м шаге, то есть . Управление процессом в целом представляет собой совокупность всех шаговых управлений, то есть . Управление может быть хорошим или плохим, эффективным или неэффективным. Эффективность управления оценивается показателем S. Возникает вопрос: как выбрать шаговые управления , чтобы величина S обратилась в максимум ? Поставленная задача является задачей оптимального управления, а управление, при котором показатель S достигает максимума, называется оптимальным. Оптимальное управление многошаговым процессом состоит из совокупности оптимальных шаговых управлений:

Таким образом, перед нами стоит задача: определить оптимальное управление на каждом шаге (i=1,2,...N) и, значит, оптимальное управление всем процессом .

II. Идеи метода динамического программирования Мы отметили, что планируя многошаговый процесс, необходимо выбирать УВ на каждом шаге с учетом его будущих последствий на еще предстоящих шагах. Однако, из этого правила есть исключение. Среди всех шагов существует один, который может планироваться без "заглядыва-ния в будущее". Какой это шаг? Очевидно, последний после него других шагов нет. Этот шаг, единственный из всех, можно планировать так, чтобы он как таковой принес наибольшую выгоду. Спланировав оптимально этот последний шаг, можно к нему пристраивать предпоследний, к предпоследнему предпредпоследний и т.д. Поэтому процесс динамического программирования на 1-м этапе разворачивается от конца к началу, то есть раньше всех планируется последний, N-й шаг. А как его спланировать, если мы не знаем, чем кончился предпоследний? Очевидно, нужно сделать все возможные предположения о том, чем кончился предпоследний, (N 1)-й шаг, и для каждого из них найти такое управление, при котором выигрыш (доход) на последнем шаге был бы максимален. Решив эту задачу, мы найдем условно оптимальное управление (УОУ) на N-м шаге, т.е. управление, которое надо применить, если (N 1)-й шаг закончился определенным образом. Предположим, что эта процедура выполнена, то есть для каждого исхода (N 1)-го шага мы знаем УОУ на N-м шаге и соответствующий ему условно оптимальный выигрыш