Расчет средней доходности, прогнозирование затрат на привлеченные и размещенные средства, моделирование оптимального привлечения и размещения средств

эмпирической формулы методом наименьших квадратов. Предположим, что имеется некоторая зависимость: Таблица 3 xx1x2...xnyy1y2...yn, где х - объем привлеченных средств, а у - затраты. Тогда получатся зависимость: (2) В такой постановке задача весьма неопределенна; необходимо указать узкий класс функций. Таблица 4 Простейшие необходимые условия для наличия эмпирических зависимостей. _ xs_ ysВид эмпирической формулыСпособ выравнивания ср. Арифметическое ср. арифметическое y=ax+b ср. геометрическое ср. геометрическое y=axbY=a+bX, где X=lgx, Y=lgy,a=lga ср. арифметическое ср. геометрическоеy=abx или y=aex, где =lnbY=a+x, где Y=lgy, a=lga, =lgb ср. гармоническое ср. арифметическоеy=a+Y=ax+b, где Y=xy ср. арифметическое ср. гармоническое Y=ax+b, где Y= ср. гармоническое ср. гармоническое Y=ax+b, где Y= ср. геометрическое ср. арифметическое y=algx+by=aX+b,где X=lgx После построения таблицы 4 для каждого вида формул рассчитываются еще две колонки: и , где , (3) где xi и xi+1-промежуточные значения, между которыми содержится Таблица 5 Схема способа наименьших квадратов. x0xx2x3x4yxyx2y1x0x02x03x04y0x0 y0x02 y01x1x12x13x14y1x1 y1x12 y11x2x22x23x24y2x2 y2x22 y2S0S1S2S3S4t0t1t2 Система уравнений для определения коэффициентов: a0s0+a1s1+...+amsm=t0, a0s1+a1s2+...+amsm+1=t1, ................................ a0sm+a1sm+1+...+ams2m=tm, (1)Решив систему уравнений (1), будем иметь значения коэффициентов а0, а1, а2., и найдем искомый полином: y=a0+a1x+a2x2, где а0, а1, а2 - известные коэффициенты.

После нахождения эмпирической формулы можно определить значение у для любого х. Найдя формулы зависимости затрат от объема средств легко спрогнозировать их значения в будущие периоды. Предположим, что затраты увеличиваются по линейной зависимости, тогда Z = x yср, где (4) x - объем привлеченных (распределенных) средств yср - среднее значение затрат на единицу x Z - затраты для объема x привлеченных средств. Так как значение объемов привлеченных (распределенных) средств на будущие периоды на неизвестно, то выразим, для удобства прогнозирования, среднее значение через рост затрат. Среднее значение затрат на единицу находится по формуле: yср = (y1-yn)/2, где y1 = b, yn = b+ab(x-1) (5) y1 - затраты на первую единицу привлеченных (распределенных) средств yn - затраты на последнюю единицу привлеченных (распределенных) средств b - затраты на первую единицу привлеченных (распределенных) средств a - рост затрат x - объем привлеченных (размещенных) средств Подставив имеем следующую формулу: , тогда (6) (7) Теперь можно рассчитать доход от привлечения (размещения) x объема средств. D1=xS-Z, где (8) S - разница между доходностью активных операций и ставкой по привлеченным средствам D1 - доход от привлечения x единиц денежных средств, за вычетом расходов. Подставив формулу 7 получаем: (9) тогда первая производная по x: (10) Приравняем D|1=0, и найдем объем привлеченных средств, при котором D максимально: (11) Остается подставить в формулу значения затрат, роста затрат и разницу между доходностью и ставкой по привлеченным ресурсам и можно найти x, при котором доход финансового субъекта будет максимален, и к которому необходимо стремиться. Однако данные формулы учитывают только затраты на привлечение средств, но существуют также затраты на размещение средств, предположим, что они тоже распределяются линейно, но имеют другие значения a и b, роста и затрат на первую единицу соответственно. Тогда: D2 = xS-Z1-Z2, где (12) Z1 - затраты на привлечение средств Z2 - затраты на размещение средств Подставив 7 получаем: , где (13) b1 - затраты на первую единицу привлеченных средств a1 - рост затрат привлечения средств b2 - затраты на первую единицу распределенных средств a2 - рост затрат распределения средств (14) Если D|2=0 получаем: (15) По формуле 15 можно вычислить оптимальное значение x, по формуле 13 можно найти максимальное значение дохода при объеме привлеченных средств x. Таким образом формулы 12-15 отражают адекватную модель финансового субъекта, имеющего один вид привлеченных ресурсов и один вид распределенных средств, если затраты на привлечение и размещение средств изменяются линейно.

Рассмотрим оптимальное распределение размещенных средств между двумя проектами, при наличии у кредитного учреждения суммы x, предполагая что она полностью может быть использована на каждый проект в отдельности. D3 = LP1+(x-L)P2-Z1-Z2, где (16) D3 - доход от кредитования P1 - доходность 1 проекта (для удобства расчетов проект с большей доходностью) P2 - доходность 2 проекта L - сумма на 1 проект (x-L) - сумма на 2 проект Z1 - затраты на 1 проект при сумме L Z2 - затраты на 2 проект при сумме (x-L) Подставим в формулу 16 значения Z1 и Z2: (17) Преобразовав получаем: (18) Тогда первая производная по L формулы 18: (19) Если D|3=0 получаем: (20) По формуле 20 можно рассчитать оптимальное значение L - средства на 1 проект, средства на 2 проект соответственно равны - (x-L). При таком распределении средств между проектами доход будет максимальным. Аналогично можно рассчитать распределение сумм средств между источниками привлекаемых средств если известна необходимая для размещения сумма. Финансовые институты, занимающиеся перераспределением средств, т.е. совмещающие привлечение и распределение средств для расчета оптимального объема ресурсов могут использовать формулы 13, 15, в которых смоделирован процесс перераспределения средств для структуры с одним источником привлеченных средств (например: вклады населения) и одним видом клиентов по размещению ссуд (например: физические лица). Другие субъекты финансового рынка , решающие задачи по распределению средств между 2 проектами (привлечения или размещения не имеет значения) если известна сумма средств, могут использовать формулы 18,20 в которых смоделирован процесс привлечения (размещения) средств из 2 источников. Данные формулы дают возможность определить точку максимального дохода от вложения средств в разные проекты. Также имеющиеся модели можно использовать для решения задачи привлекательности инвестиций с учетом ликвидности, если затраты на инвестирование примерно равны в обоих вариантах, но существуют вопросы по оптимальному соотношению ликвидность/рентабельность, то получив методом экспертных оценок зависимость уменьшения (увеличения) ликвидности от объема предоставленного кредита в тот или иной проект можно просчитать оптимальное соотношение, подставив вместо изменения затрат изменение ликвидности.