Экономическая кибернетика

Эк. Кибернетика. Игра матем. Модель конфликтной ситуации. Стратегия игрока это правила выбора действий в сложившейся ситуации. Решение игры это нахождение оптимальной стратегии для каждого игрока, т.е. нахождение цены игры. Оптимальная стратегия игрока это стратегия, которая в среднем (настрив. на длительную игру) дает игроку возможный наибольший выигрыш. Неонтогонистическая если выигрыш одной из сторон склад. из проигрыша др. стороны, иначе антогонистическая выигрыш одного равен проигрышу др. Матричные игры. - самые простые игры. Играют 2 чел. У каж конечное число стратегий. Список стратегий известен каж играющему, т.е. игра с полной инф. Игра одноходовая. Величина выигрыша известна заранее, опис. В числовых единицах. Оба дейст. Сознательны, никто не поддается. Игра яв-ся антогонистической. Правила определяют победителя. Игры с седловой точкой обладают св-м устойчивости если один игрок примен оптим стратегию, то др. игроку не выгодно отклон-ся от своей оптим стратегии. Первонач сведен по т. вероятности. Случайные событие это событие, которое может произойти или не произойти в данной ситуации. Вероятность это количественная характеристика, мера появ-я событий. P(А)=(число благопр. событий)/(общее число событий). М(х)=i хipi матем. ожидание. D(x)=i х2ipi (M(x))2 дисперсия. (x)=D(x) средне квадратичное отклонение показывает степень разбросанности значений случайной величины относительно матем. ожидания. Правило 3 сигм (): PM(x)-3(x)0); S*A- оптим стратегия. Стратегия Вj активная второго игрока если вероятность исполь-я ее в опти стратегии больше нуля (Bi-акт, если q*i>0); S*B - оптим стратегия. Неактивная стратегия вероятность применения, которой в оптим стратегии равна нулю. Теорема устойчивости: Если один игрок применяет свою оптим стратегию, то 2 игроку не выгодно выходить за рамки своих активных стратегий. Теорема: В матр. игре количество активных стратегий у каж игрока одинаковое. Применение решений в усл. неопределенности. Рассмотрим игру человек и природа. Человек лицо принимающее решение. Природа экон-я среда в состоянии рынка. Отличия от матричной игры: Активные решения принимает только чел, он хочет найти наиболее оптим решение. У природы стихийное поведение и она не стремится к выигрышу. Считается, что чел знает список сост природы, но не знает какое из них будет фактическим. В игре с природой чел труднее сделать свой выбор, поэтому сущ несколько подходов нахождения оптимального решения. Подход определяется склонностью чел к риску. Риск это может быть упущенная выгода или необход понести дополнит произв-е затраты. Элементы матрицы это ожидание резуль. Деятельности в завис от сост природы. 1) Подход махмах “оптимистический”: В каж точке мы находим макс элемент и после этого находим макс из полученных чисел. i=maxj aij=maxii=i0 выб Аi0. Выбираем макс значение. Чел ориентир на самый лучший возмож результат, не обращ внимание на возмож неудачи. 2) Критерий Вальда критерий пессимизма: Находим в каж строчке миним элемент и выбираем ту стратегию, которая дает макс гарантируемый доход. i=minj aij=maxi i=i выб Аi0. 3)Критерий Гурвица () ур пессимизма: Человек выбирает 01. Находим число i=i+(1-)i maxii=i0 выб Аi0. Если =1 кр Вальда (пессимизма), если =0 кр оптимизма. Конкретная величина опред-ся эк-ой ситуацией. 4) Критерий Сэвиджа кр минимального риска: Состав март риска по формуле rij=j-аij. ij=max aij rij=j-aij. R=(rij) матр риска; ri=maxj rij mini ri=ri0 выб Аi0. Если бы мы знали, то мы бы выбрали наиболее эф-е решение. Для самого эф-го решения: rij=0 (если Пj) Аi. Риск = величине упущенной возможности.

У каж критерия есть свои особенности применения. Если мы оценив ситуацию по разным критериям, то мы можем принять более обоснован решение. Трудность обоснования яв-ся, что природа не стремится к выигрышу. Принятие решения в усл риска. Рассотрим вариант игры чел и природы в случаи, когда нам известно сост природы. Природа к выигрышу не стремится. Находим стратегию, которая приносит макс средний доход. Средний доход расчитывается по правилу теории вероятности. Величина среднего дохода равна матем ожиданию при этой стратегии. 1) М(Ai)=nj=1aijpj Находим макс maxi M(Ai) 2) Правило минималь среднего риска. R=(Ai)=nj=1rijpj. Находим наимень mini R(Ai). Лемма: Указ выше 2 критерия в результате всегда приводят к выбору одной и той же оптим стратегии. Док-во: Найдем миним сред риска mini R(Ai)= mini jrijpj= mini (j(j-аij)pj)= mini (jj pj-jаijpj)=jj pj не зависит от переменной i, значит это const С= mini (С-jаijpj) минимум разности соот-ет максимуму вычитаемого. maxi jаijpj=M(Ai). Номера стратегий, на которых достиг миним среднего риска, равны номерам стратегий обеспеч наиболь средний выигрыш. Бейссовский подход нахождения оптимального решения. Бейсовский подход: Если первонач распредел вероятности мы получ доход Q. Если мы можем провести эксперемент дающий новое распред вероятности в завис от первонач Qи нового Q , мы делаем свой выбор стратегии. p'Q. Некоторые св-ва матричной игры. Замеч№1 О масштабе игр: Пусть даны 2 игры одинаковой размерности с платежной матрицей р(1) и р(2). При чем при любых i и j выпол (а(2)ij=a(1)ij+), некоторые числа и . Тогда: 1) опт стратегии 1 игрока в 1 и 2 игре одинаковые. Опт стратегии 2 игрока одинаковы в обеих играх. 2) Цена второй игры V2=V1+. Для некот методов решений все элементы матр должны быть не отрицательными. Заме№2 О доминировании стратегий: Этот прием применяется для умень размерности игры. А: Аi доминирует над Ак (Аi>Ак), если для любого j выпол нерав-во аij>akj и хотя бы одно из этих нерав-в строгое. Ак заведомо невыгодна; сред размер выигрыша меньше; р*к=0, стратегия пассивная. В: Вj доминирует над Вt (Вj>Вt), если для любого i выпол нерав-во аij>ait и хотя бы одно из этих нерав-в строгое. Bt невыгодна q*t=0 актив стратегия. Доминир стратегии вычеркиваются и получ матр меньшей размерностью. Замеч№3 Сравнение операций по методу Парето: Допустим есть операции Q1, Q2,… Qn. Для каж опер-и расчит 2 параметра: 1) E(Q) эффективность (доход); 2) r(Q) степень риска (-сред квадратич отклон). Самая лучшая операция это опер с наилуч эф-ю и с наимень риском. F(Q)=E(Q)-r(Q), где - это склонность к риску (не мат проблема). Находим макс из этих критериев maxi F(Qi). Операция Qi>Q, если эф-ть не менее E(Qi)E(Qj), а риск опер r(Qi)r(Qj) и хотя бы одно из нерав-в строгое. Доминир страт отбрас,