Расчет тарифных ставок в страховании

40,4880665261942,72,0248595223,2419268090,90666621,7527034,16998742,3138661941,601062579892037,70,6950483391416,30,9510030921,2170672860,60641570,8460371,65294370,781190871,27977216690621,40,981670422610,010,2660641950,2660641950,23962140,2396210,38801030,1441181061Формулаlx*(1+i)-xdx*(1+i)-x+1 Таблица смертности числовая модель процесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокупности людей. Прежде чем начать непосредственное описание методов расчета страховых аннуитетов и нетто-тарифов, необходимо сформулировать обще принципы определения нетто-премий в личном страховании. В страховании жизни, как и в любом из видов страхования должно соблюдаться условие превышения страховых премий над страховыми выплатами (Е(Р)+I>=E(S)), где I доход от инвестиций временно свободных средств. Величина страховых выплат является случайной величиной, и нельзя заранее предсказать точную сумму страховых выплат. За счет большого числа застрахованных, статистические данные однородны и обладают должной степенью надежности. Поэтому, вероятность отклонения реальных величин от их математического ожидания ничтожно мала. Вследствие этого, в актуарных расчетах принято использовать вероятную (ожидаемую) стоимость выплат. Тоже происходит и суммами нетто-премий. Их величина зависит от случайной величины S, а, следовательно, является величиной случайной. К моменту осуществления выплат страховщик должен обладать фондом, равным вероятной стоимости выплат. Он определяет для себя будущую стоимость выплат и размер требуемого страхового фонда. Так как страховщик инвестирует свободные средства, то они ему приносят доход, который изменяется в зависимости от нормы доходности r, темпа инфляции (h), и ставки налогов (g). Тогда дисконтирование происходит по скорректированной ставке i=r(1-g)+h/100. Страховая премия выплачивается в момент заключения договора, то есть в современный момент времени, а страховые выплаты спустя определенное время. Поэтому, для их сравнения необходимо дисконтировать страховые выплаты, приводя их стоимость к сегодняшнему дню. В страховании жизни нетто-премии иногда уплачиваются не одной суммой, а серией платежей, в различные периоды времени (в рассрочку). Для их учета страховщику приходится как нетто-премии, так и страховые выплаты приводить к одному моменту времени, иначе, при незапланированном прекращении договора, страховщик недополучит часть причитающихся ему премий. Вышесказанное можно представить в виде неравенств, которые показывают основные принципы расчета тарифных ставок: 1. E+I>S Нетто-премия с учетом дохода, от инвестиций должна превышать страховую выплату. Если данное равенство не будет соблюдаться, то страховщик обанкротится. 2. E+I>Sp Сумма выплат величина случайная, так как неизвестно по каким договорам приходится возмещать ущерб. Поэтому в актуарных расчетах применяют ее наиболее вероятное значение (Sp). 3. E>Sp-I Современная вероятная стоимость выплат (разница между суммой выплат и накопленных доходов) не должна превышать стоимость единовременной нетто-премии. 4. Ep-IE>Sp-I Сравнение вероятной стоимости выплат происходит не с реальными суммами нетто-премий, а с их наиболее вероятным значением (математическим ожиданием). Современная вероятная стоимость нетто-премий, уплаченных в рассрочку, должна быть меньше, чем современная стоимость выплат. Получается, что нетто-премии доходы страховой компании, а страховые выплаты ее расходы, причем и те и другие носят случайный характер. Так как в страховании жизни затронуты значительные периоды времени, в рамках которых изменяется стоимость денег пропорционально ставке i, то расчетные данные необходимо приводить к одному моменту времени. Принцип финансовой эквивалентности (P=Sq) в страховании жизни несколько видоизменен. Пусть P размер премии, qn вероятность страхового события (смерть застрахованного через n лет после начала страхования). Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик получит сумму Р, если на втором году 2Р, и т.д. Математическое ожидание такого ряда премий составит: Pq1+2Pq2+3Pq3+…+nPqn. Однако, премия выплачивается в разные моменты времени. С учетом этого фактора данную величину необходимо привести к одному моменту времени (к начальному): E(P)=P(q1+(1+v)q2+(1+v+v2)q3+…+(1+v+…+vn-1)qn), где v=(1+i)-1-дисконтный множитель. Е(Р) дисконтированное математическое ожидание страховых премий. Теперь рассмотрим совокупность страховых выплат. Допустим, они выплачиваются в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sq1, во втором году - Sq2, и т.д. С учетом фактора времени математическое ожидание страховых выплат выглядит так: E(S)=S(vq1+v2q2+…+vnqn)/ Как известно, E(S)=E(Р). Подставляя известные значения в данное равенство можно определить размер нетто-премии. Зная основные принциы формирования нетто-премии в страховании жизни можно перейти к рассмотрению методов ее расчета. Итак, основной показатель таблицы смертности число людей lx в возрасте х лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности l0 (обычно равной 100000 человек). Величины lx (кроме l0) определяют расчетным путем на основе заданных вероятностей смерти (qx) в возрасте х лет, или на основе количества умерших (dx). Указанные вероятности получают на основе данных статистики населения с последующим усреднением и сглаживанием. Показатели таблицы смертности связаны следующими соотношениями: - lx+1=lx-dx; - dx=lx*qx; - qx=1-px=1-lx+1/lx=dx/lx . Для определения страховых тарифов необходимо знать страховые вероятности в страховании жизни и действия над ними: 1. npx=lx+n/lx вероятность прожить n лет лицо, дожившим до возраста х лет. 2. px=1-qx=1-dx/lx=lx+1/lx вероятность человеком, дожившим до х лет, прожить еще 1год. 3. nqx=1-npx=(lx-lx+n)/lx вероятность умереть в интервале возрастов от x лет до n лет. 4. mqx=mpx*qx+m=(lx+m/lx)*(dx+m/lx+m)=dx+m/lx - вероятность дожить до возраста х лет и умереть в возрасте x+m лет в течении 1 года. 5. m/nqx=mpx*nqx+m=(lx+m/lx)*(lx+m-lx+m+n)/lx+m=(lx+m-lx+m+n)/ lx вероятность дожить до x+m лет и умереть в возрасте от x+m лет до x+m+n лет. Для упрощения расчетов и сокращения записи формул в таблицах смертности используются коммутационные функции. Их смысл сложно интерпретировать, поэтому они должны восприниматься как чисто технические вспомогательные средства. Их можно разделить на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых числа умерших. 1. Dx=lx*vx 2. , где w-предельный возраст, учитываемый в таблице смертности. - Nx=Nx+1+Dx; Nw=Dw - (Nx+1-Nx+2)+(Nx+2-Nx+3)+…+Nx+k-Nx+k+1=Nx+1-Nx+k+1 3. Cx=dx*vx+1; Cx=dx*vx+1=(lx-lx+1)*vx+1=lx*vx*v-lx+1*vx+1=Dx*v-Dx+1 4. ; Страхование на дожитие. Страхователь и страховщик договариваются между собой о том, что второй выплатит первому страховую сумму S, если он доживет до возраста n. В обмен на данные условия страхователь предлагает заплатить страховщику нетто-премию, которая равна произведению страхового