Курс лекций по общему курсу статистики

групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная. Пример 5. Определим средний процент выполнения плана по выпуску продукции по группе заводов на основании следующих данных:

Таблица 5.4. Номер заводаВыпуск продукции по плану, млн.руб.Выполнение плана, %11810022210532590420106540108ИТОГО125 В этой задаче варианты (процент выполнения плана) являются не индивидуальными, а средними по заводу. Весами являются выпуск продукции по плану. При вычислении среднего процента выполнения плана следует использовать формулу средней арифметической взвешенной: , где фактически выпущенная продукция, получаемая путём умножения вариант (процент выполнения плана) на веса (выпуск продукции по плану). Производя вычисления, варианты (х) лучше брать в коэффициентах.

Основные свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает рядом свойств: 1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в п раз величина средней арифметической не изменится. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится. 2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:

3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

4. Если х = с, где с - постоянная величина, то . 5. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:

Средняя гармоническая. Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

Пример 6. Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали. На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:

Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением: все затраченное время Среднее время, затраченное = -------------------------------------- на одну деталь число деталей

Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:

Это же решение можно представить иначе:

Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:

Пример 7. Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по трем заводам характеризуются следующими данными:

Таблица 5.5. Номер заводаИздержки производства, тыс.руб.Себестоимость единицы продукции, руб.120020246023311022 Исчислим среднюю себестоимость изделия по трем заводам. Как и прежде, главным условием выбора формы средней является экономическое содержание показателя и исходные данные.

Издержки производства Средняя себестоимость = ---------------------------------------- единицы продукции () Количество продукции

руб.

Таким образом, формулу для расчета средней гармонической взвешенной можно представить в общем виде:

Мода.

Характеристиками вариационных рядов, наряду со средними, являются мода и медиана. Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой. Пример 8. Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:

размер обуви36373839404142434445и вышечисло пар, в % к итогу 1682230201111 В этом ряду распределения мода равна 41. Именно этот размер обуви пользовался наибольшим спросом покупателей.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где - начальное значение интервала, содержащего моду; - величина модального интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным.

Пример 9. Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными: Таблица 5.6. Группы предприятий по числу работающих, челЧисло предприятий100 2001200 3003300 4007400 50030500 600 19600 700 15700 8005ИТОГО80 В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения. Введем следующие обозначения: =400, =100, =30, =7, =19

Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:

Медиана

Медиана - это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке). Например, стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 8, 10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана - 7 лет. По обе стороны от нее находится одинаковое число рабочих. Если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда. Пусть теперь будет не пять человек в бригаде, а шесть, имеющих стаж работы 2, 4, 6, 7, 8 и 10 лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 6 и 7. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда:

Ме = (6 + 7) / 2 = 6,5 лет.

Рассмотрим пример расчета медианы в дискретном ряду.

Пример 10. Определим медиану заработной платы рабочих.

Таблица 5.7. Месячная з/п , руб.Число рабочихСумма накопительных частот1102213068 (2+6)1601624 (8+16)19012 2204 40 Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила ее половина - 20. Накопленная сумма частот ряда получилась равной Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 160 руб., и есть медиана ряда. Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Пример 11. Таблица 5.8. Месячная з/п, руб.Число рабочихСумма накопительных частот1102213068