Лекции по статистике

Середня гармонічна це обернена величина до середньої арифметичної, обчислена з обернених величин осереднюваних варіруючих ознак.

Середні поділяються на 2 великі класи: структурні і степеневі (сюди належать середня гармонічна, середня геометрична, середня квадратична, середня прогресивна тощо). Середня геометрична розраховується за формулою:

Приклад №2. Використання середньої арифметичної для розрахунку недискретного ряду. Групування робітників за розміром зарплатиКількість робітниківФонд заробітної платиДо 100807200100 12025027500120 14032041600140 16023034500Понад 16012020400Разом1000131200Необхідно знайти середню заробітну плату робітників. Перш за все ми повинні закрити верхні і нижні границі. Оскільки величина інтервалу в подальших групах дорівнює 20 од., перший інтервал записуємо "80 100", останній "160-180". Потім знайдемо середину інтервалу: Групування робітників за розміром зарплати (x)Кількість робітників (f)Середини інтервалуФонд заробітної платиДо 10080907200100 12025011027500120 14032013041600140 16023015034500Понад 16012017020400Разом1000131200Тоді середня арифметична зважена:

Властивості середньої (математичні). 1) Алгебраїчна сума відхилень всіх варіант від середньої дорівнює 0:

2) Якщо одну із варіант збільшити або зменшити на певну величину, то і середня зміниться на таку ж величину:

3) Якщо кожну варіанту розділити чи помножити на довільне число, то і середня збільшиться або зменшиться на те ж саме число.

4) Якщо частоти всіх варіант помножити чи поділити на довільне число, то середня не зміниться.

5) Сума квадратів відхилень варіант від середньої менша за будь-яку іншу величину:

Середні структурні. До середніх структурних відносяться дві величини, які називаються "мода" і "медіана". Мода (модальна величина) ряду це така величина, яка найбільш часто зустрічається в даному розподілі.

x0 це нижня межа модального інтервалу. i величина інтервалу. f2 частота модального інтервалу, f1 частота передмодального інтервалу (того, що передує модальному) f3 частота позамодального інтервалу (того, що йде після модального інтервалу)

Розрахуймо моду до прикладу №2.

Медіаною називається така величина, що займає серединне положення у варіаційному ряду, в якому варіанти розташовані в зростаючому або спадаючому порядку. Для дискретного ряду: Для варіаційного ряду (приклад №2): x0 це нижня межа медіального інтервалу. i величина інтервалу. Sm-1 сума накопичених частот до медіанного інтервалу. fm частота медіанного інтервалу.

Групування робітників за розміром зарплати (x)Кількість робітників (f)Середини інтервалуФонд заробітної платиНаростаючий підсумок частот (накопичені частки)До 1008090720080100 12025011027500330120 14032013041600650140 16023015034500880Понад 160120170204001000Разом1000131200(синім позначено медіанний інтервал: серединою кількості робітників є 500, і він належить до накопиченої частки у третьому ряду)

Структурні величини мода і медіана застосовуються для вивчення внутрішньої будови рядів розподілу, тобто їх структури. Нормований середній бал. Нормований середній бал застосовується для ознак рангової шкали. Рангова шкала визначає не тільки подібність елементів, а і послідовність типу "більше-менше", "краще, ніж" тощо. Для розрахунку нормованого середнього балу необхідно, спочатку, ранжувати значення ознаки в порядку зростання якості. Тоді: , де - нормований середній бал; - середньозважений ранг; R різниця між максимальним і мінімальним значенням рангу. x' середина шкали рангів.

Приклад №3. Обстеження показало відношення населення району до медичного обслуговування: повністю задоволені 15% частково 50% не задоволені 35%. Яке ж в середньому ставлення населення до медичного обслуговування? Проведемо ранжування: найкраще відношення 3 бали, частково 2 бали, не задоволені 1 бал.

R = xmax xmin = 3 1 = 2

Отже, 39% населення оцінюють медичне обслуговування як задовільне (оскільки за найвищий ранг ми взяли найкраще обслуговування).

Статистичне вивчення варіації. План. 1. Суть варіації. Необхідність її статистичного вивчення. 2. Характеристики або показники варіації. 3. Методи обчислення дисперсії. 4. Види дисперсії. Правила додавання дисперсій. 5. Характеристики форми розподілу. 6. Криві розподілу.

До характеристик варіації відносяться наступні показники: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середній квадрат відхилення, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнти варіації.

Задача №1. Нехай маємо дві бригади із такою продуктивністю праці працівників: 1) 29, 31, 33, 30, 34; 2) 31, 32, 37, 27, 30. Необхідно порівняти ці дві бригади. Спочатку знайдемо середню продуктивну працю по кожній бригаді:

Розмах варіації становить різницю між мінімальним і максимальним значенням ознаки: R = xmax xmin.

В нашому випадку: R1 = 34 29 = 5 R2 = 37 27 = 10 Ряди динаміки. План. 1. Поняття про ряди динаміки. Види рядів динаміки. 2. Обчислення середнього рівня в рядах динаміки. 3. Аналітичні показники ряду динаміки. 4. Обчислення середніх темпів динаміки. 5. Коефіцієнти випередження. 6. Екстраполяція і інтерполяція.

§ Динамікою (від грецького динаміс "сила, розвиток") називається процес розвитку явища в часі і просторі. Для того, щоб відобразити ці процеси динаміки будують ряди динаміки (інша назва динамічні ряди) § Динамічним рядом (рядом динаміки) називають ряд статистичних показників, що розташовані в хронологічній послідовності і характеризують зміну явища в часі.

Динамічний ряд складається з двох елементів: 1) статистичний показник (інша назва рівень ряду) характеризує величину явища, його розмір і найчастіше позначається через y; 2) момент часу, ряд періодів показник, який характеризує певний час, у який дійсний відповідний статистичний показник. момент часу (ряд періодів)статистичний показник1990 1991 1992 1993 199454,2 54,1 53,9Види рядів динаміки. 1) Ряд динаміки може бути в залежності від показників, які утворюють дану сукупність: абсолютним, відносним і середнім. 2) В залежності від часу, який визначений в динамічних рядах вони поділяються на інтервальні і моментні. 3) Залежно від відстані між рівнями ряду динаміки, ряди можуть бути рівні і нерівні (тобто з рівними і нерівними інтервалами). 4) Залежно від кількості статистичних показників: одномірний і багатомірний.

Аналітичні показники ряду динаміки. РокиВсього побудовано ЖБК млн.кв.мАбсолютний приріст , млн.кв.м.Коефіцієнти або темпи зростанняТемпи приросту (відсотки)Абсолютне значення одного відсотку приросту тис.кв.мПорівняно з 1990 р.Порівняно з попереднім рокомПорівняно з 1990 р.Порівняно з попереднім рокомПорівняно з 1990 р.Порівняно з попереднім роком1234567891019902,919912,4-0,5-0,50,82760,8276-17,24%29019922,1-0,8-0,30,72410,8750-27,59%-12,5%24019931,9-1-0,20,65520,9048-34,48%-9,52%21019941,8-1,1-0,10,62070,9474-38,93%-5,26%190В