Управління запасами

з ймовірністю 1-х-у довжина черги залишається не змінною. Тоді середня довжина черги визначається за формулою (1,75) Доведення: Нехай r(i) визначає ймовірність того, що Ви маєте незадоволений попит в І партій Тоді ймовірність того, що в наступний момент часу зявиться новий клієнт та середня величина незадоволеного попиту стане І+1 з ймовірністю xr(I): (1,76) де ймовірність переходу з стану з величиною незадоволеного попиту І до стану з величиною незадоволеного попиту І+1. З ймовірністю у Вам підвезуть одиничну партію товару та середня величина незадоволеного попиту стане І-1 з ймовірністю : (1,77) З ймовірністю 1-х-у нічого не трапиться :ні зявиться новий клієнт, ні підвезуть нову партію Тому ймовірність того що довжина черги залишиться рівною І дорівнює : (1,78) Якщо в даний момент часу ви не маєте незадоволеного попиту (ймовірність відсутності незадоволеного попиту дорівнює r(0) , то можливі дві ситуації: зявлення нового покупця з ймовірністю х ,та відсутність змін з ймовірністю (1-х): (1,79)(1,80)

З за малості х у (цього можна добитися зменшуючи величину часового проміжку до 0 )Ви нехтуєте можливістю того, що одночасно трапиться декілька подій , наприклад одночасно прийдуть декілька покупців. Ви шукаєте середню величину, тобто стаціонарний стан системи (1,76-1,80) В цьому випадку рівняння ви можете написати: (1,81)(1,82) Рівняння (1.81)(1.82) мають розвязок:

В більш компактному вигляді:

Тепер вам залишилось отримати чисельні значення для ймовірності r(I),І0. Для цього випишемо рівняння нормування: ймовірністю 1 система буде мати задовільнений попит чи яку небуть величину незадоволеного попиту . Математично ця умова запишеться у вигляді:

або

Маючи вираз для суми геометричної прогресії:

Ви отримаєте : Найдемо середню довжину черги :

Тепер вам залишилось підрахувати ряд :

Таким чином ми отримали:

Теорему доведено. Чисельний приклад 1,30 Довжина черги. Вас цікавить довжина черги в залежності від відношення х/у- ймовірності отримання нового замовлення до ймовірності обслуговування присутнього замовлення в одиницю часу. Довжина черги: X/Y00,050,10,150,20,250,30,350,40,450,50,550,60,650,70,750,80,850,90,95_ I00,050,110,180,250,330,430,540,670,8211,221,51,862,33345,67919В першій строчці розташовані різні відношення х/у ,в другій Відповідні очікувані довжини черги І розраховані за формулою (1,75) Ви бачите що для мінімальної довжини черги ймовірність(швидкість) обслуговування клієнта повинна перевищувати ймовірність(швидкість) приходу клієнтів. Так на приклад для середньої довжини черги в 2 особи таке перебільшення повинно складати 33% Теорема 1,10 Оптимальна величина запасу Нехай неустойка за незадовільненя попиту дорівнює М, вартість зберігання однієї одиниці товару є , ймовірність приходу клієнта в одиницю часу є х, ймовірність задоволення клієнта в одиницю часу є у. Тоді оптимальний розмір запасу L визначається за формулою: (1,83) Доведення: Ймовірність r(I>L) того, що величина незадоволеного попиту буде більша за L розраховується за формулою: тому середня величина запасу для задоволення усіх покупців повинна дорівнювати або Якщо при не можливості задовольнити попит , ви платите неустойку в розмірі М, то для визначення оптимальної величини запасу L, Ви розвязуєте задачу: (1,84) Де - вартість зберігання 1 одиниці товару. Задача(1.84) розвязується аналітично, але її можна розвязати чисельно або графічно. Оптимальна величина резервного запасу L задовольняє умові:

або

Теорему доведено Так при витратах зберігання $1.6/штука,=0,25,М=$100 ви отримаєте значення оптимального резервного запасу

або 3-4 штуки. Якщо неустойка зросте до $1000 то оптимальний запас збільшится до 5 штук. Якщо ж =0,8 то оптимальні величини резервного запасу будуть вже 6,7 та 17 штук відповідно для штрафу $100 та $1000. Чисельний приклад1,31 Оптимальна величина резервного запасу прирізних відношеннях витрати зберігання однієї одиниці до величини неустойки та відношення ймовірності приходу клієнта до ймовірності обслуговування клієнта. x/y \ Ck/M,000010,0001,0010,010,10,20,30,40,50,60,70,80,90,15,364,363,362,361,361,060,890,760,660,580,520,460,410,27,456,024,593,161,731,301,040,870,730,610,520,430,360,39,727,805,893,982,071,491,150,920,730,580,450,340,240,412,479,967,444,932,421,661,220,900,660,460,290,150,02 В першій строчці розташовані різні відношення ,в першому стовпці в таблиці оптимальна величина резервного запасу розраховується по формулі (1.83) 1.7 Питання ціноутворення 1.7.1 Еластичність то формування оптимальної ціни Нехай р- ціна продажу, с- собівартість продукції, q- обєм продажу в штуках, n- прибуток, R -виручка. тоді: (1,85)(1,86) тому задача збільшення виручки є составна задачі збільшення прибутку.обєм продаж (в штуках) залежить від ціни продаж. Визначення 1,39 Еластичність Еластичністю обєму продаж q в штуках до продажній ціни р зветься відсоткове відношення обєму продаж при зміні ціни продажу на 1%: (1,87) Еластичність показує на скількі відсотків змінюється q при зміні p на1% Теорема 1.11 Оптимальність цени по обєму продаж Необхідною та достатньою умовою оптимальності ціни по обєму продаж є (1,88) Доведення: Знайдемо умову максимальності виручки,виходячи з умови:

або (1,89) где похідна обєму продаж по ціні Звідси отримаємо умову оптимальності ціни р виходячи з обму продаж:

В противному випадку , зменшуючи ціну при <-1та збільшуючи цену при >-1ви збільшуєте обєм продаж. Теорему доведено. Виникає питання вимірювання еластичночті. На практиці воно розвязується наступним чином : Устанавлюючи розпродажзі зкидкоюна10-20% встановлюючи трохи різні ціни на практично однакові товари, ви відразу можете визначити еластичність. Теорема 1,12 Оптимальність ціни по прибутку Прибуток до сплати податків та процентів по кредитах буде максимальним при =-1де

або (1,90) Доведення: Прибуток n до сплати процентів та податків дорівнює

беремо похідну по р

або (1,91) Бачимо що формула (1.91) повністю співпадає з (1.89) з єдиною різніцею :в(1,91) стоїті відсотков зміна надбавки р-с ,а ні ціни як в (1,89). Тому умова оптимальності по прибутку є: =-1 тоді Теорему доведено. 1.7.2 Просторова вартість Визначення 1,40 Просторові витрати Витрати неспівпадання місцезнаходження та характеристик товара з місцезнаходженням та очікуваннями покупця звуться просторовими витратами. Вони також можуть називатися просторовими витратами. Просторова відстань входить в витрати продукції неявним та явним чином.Так в собівартість продукції включаються витрати на доставку як явна складова. Неявним складовими є час ,затрачений покупцем на пошук та покупку товару , час затрачуємий на адаптацію товарів до потреб споживачів. Чисельний приклад 1,32 Так наприклад якщо вартість однієї години покупця дорівнює w($10)то стояння в черзі на протязі 15 хвилин е додаткові просторові витрати в розмірі $2,5 котру теряють покупець та