Балансовая модель

_ у1 ным вектором У = : , то валовый выпуск k-й отрасли xk, необходимый для его уn

обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбца Sk на вектор У, т.е. _ _ xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sky , ( 11 ) а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У. Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S, можно по формулам ( 7 ) ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У. Можно также определить, какое изменение в вектор-плане х = ( х1, х2, …, хn ) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта У = ( у1, у2, …, уn ) по формуле: _ _ х = SУ , ( 12 )

Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:

0.2 0.4 А = 0.55 0.1

Следовательно,

1 -0.2 -0.4 0.8 -0.4 Е - А = = -0.55 1 -0.1 -0.55 0.9

Определитель этой матрицы

0.8 -0.4 D [ E - A ] = = 0.5 -0.55 0.9

Построим присоединенную матрицу ( Е - А )*. Имеем:

0.9 0.4 ( Е - А )* = , 0.55 0.8

откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей:

1 0.9 0.4 1.8 0.8 S = ( Е - А )-1 = = 0.5 0.55 0.8 1.1 1.6

Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S11=0.8 и S21=1.5. Сравнивая с прямыми затратами а11=0.2 и а21=0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55. Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S12=0.8 и S22=1.5, откуда косвенные затраты составят 0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5. Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й отраслей.

Тогда необходимый валовый выпуск х = х1 найдется из равенства ( 7 ): х2

_ _ 1.8 0.8 480 1000 х = SУ = = 1.1 1.6 170 800 .

ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.

Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки. Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений через xn+2,k ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как вводились прямые затраты aik, xn+1,k введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k = , и xk xn+2,k капиталовложений an+2,k = , представляющих собой расход соответствующего xk ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

a11 a12 … a1k … a1n a21 a22 … a2k … a2n основная часть матрицы ………………………………… А = ai1 ai2 … aik … ain ………………………………… an1 an2 … ank … ann an+1,1 an+1,2 … an+1,k … an+1,n an+2,1 an+2,2 … an+2,k … an+2,n дополнительные строки

При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрица А ). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки. Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е.

_ 1 У = 0 : 0 .

Для этого требуется валовый выпуск продукции

S11 _ _ S21 x = S1 = : Sn1

Подсчитаем необходимые при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю an+1,2S21 и т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят: _ _ Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1 ,

т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А, которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S. Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят: _ _ Sn+1,k = an+1Sk ( 13 )

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений: _ _ Sn+2,k = an+2Sk ( 14 )

Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов Sn+1,k и Sn+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:

S11 S12 … S1k … S1n матрица коэффициентов S21 S22 … S2k … S2n полных внутрипроизводст. ………………………………… затрат S = Si1 Si2 … Sik … Sin ………………………………… ( 15 ) Sn1 Sn2 … Snk … Snn Sn+1,1 Sn+1,2 … Sn+1,k … Sn+1,n дополнительные строки Sn+2,1 Sn+2,2 … Sn+2,k … Sn+2,n

Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У. Очевидно,

xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn , ( 16 ) xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,

т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S вектор У. Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме:

x1 x2 _ : _ x = xn = SУ ( 17 ) xn+1 xn+2

Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда xn+1,k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений xn+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3 Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу:

0.2 0.4 А = 0.55 0.1 0.5 0.2 1.5 2.0

Таблица 3 № отраслей потребление итого конечный валовый № затрат продукт выпуск отраслей 1 2

1 100 160 260 240 500

2 275 40 315 85 400

труд 250 80 330

капиталовложе- 750 800 1550 ния

Обратная матрица S = ( E - A )-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте. На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда ( Sn+1,k=S3,k ): _ _ S31 = a3S1 = 0.5 1.8 + 0.2 1.1 = 1.12 ; _ _ S32 = a3S2 = 0.5 0.8 + 0.2 1.6 = 0.72

и капиталовложений Sn+2,k = S4,k: _ _ S41 = a4S1 = 1.5 1.8 + 2.0 1.1 = 4.9 ; _ _ S42 = a4S2 = 1.5 0.8 + 2.0 1.6 = 4.4 .

Таким образом,